📂抽象代数

ガロア理論

定理 ¹

$K$ を $F$ のガロア拡大体で、群は $F \le E \le K$ だとする。$E$ を固定する $G ( K / F )$ の部分群を $\lambda (E)$ と表記しよう。すると、写像 $\lambda$ は、$F$ と $K$ の間のすべての $E$ を $G ( K / F )$ のすべての部分群に対応させる同型写像となる。$\lambda$ は次の性質を持つ。

1. $\lambda ( E ) = G ( K / E )$
2. $E = K_{ G ( K / E ) } = K_{ \lambda (E) }$
3. $H \le G ( K / F )$ に対して、$\lambda ( K_{H} ) = H$
4. $[K : E] = | \lambda (E) |$ かつ $[ E : F ] = \left( G ( K / F ) : \lambda (E) \right)$ の時
5. $E$ が $F$ の正規拡大体であり、$\lambda (E)$ が $G (K / F)$ の正規部分群である。
6. $\lambda (E)$ が $G ( K / F )$ の正規部分群である場合、$G (E / F) \simeq G ( K / F ) / G ( K / E )$

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• $[ E : F ]$ は次数を意味する。
• $G(E / F)$ は$F$ 上での $E$ の群を意味する。
• $\left( G ( K / F ) : \lambda (E) \right)$ は群論でのインデックスを意味する。
• $K_{ \lambda (E) }$ は$K$ から $\lambda (E)$ へ固定される要素だけを集めた集合である。