4で割ったときに余りが1になる素数の必要十分条件
📂整数論4で割ったときに余りが1になる素数の必要十分条件
定理
p=2 を 素数 だとしよう。
ある a,b∈Z について p≡1(mod4) ⟺ p=a2+b2
説明
p=2 は省いたが、実際には 2=12+12 だから、定理に含まれても問題ない。
例えば 13≡1(mod4) は
13=4+9=22+32
37≡1(mod4) は
37=1+36=12+62
61≡1(mod4) は
61=25+36=52+62
これらの事実はそれ自体で面白いが、ガウスの素数との深い関連があり、数論をより高い次元に引き上げる。
証明
(⟹)
パート 1.
p≡1(mod4) であるから、ある k∈N に対して p=4k+1 と表せる。
オイラーの基準: a2p−1≡(pa)(modp)
オイラーの基準によって
(p−1)≡(−1)2(4k+1)−1≡(−1)2k≡1(modp)
従って −1 は p で二次剰余であり、c2≡−1(modp) を満たす c∈Z が存在する。両辺に B2 を掛けて整理すると
(cB)2+B2≡0(modp)
である。A:=(cB) とおくと、ある M∈Z に対して
A2+B2=Mp
であり
M=pA2+B2≤p(p−1)2+12=p−p2p−2<p
だから M<p である。これを M へ継続的に縮小すると、M=1 になり、ある a,b∈Z に対して p=a2+b2 と言える。
パート 2. 1≤r<M
u≡A(modM)v≡B(modM)−2M≤u,v≤2M
を満たす u,v∈Z を考える(例えば、M=13 で A≡10(mod13) ならば、u≡−3(mod13) だからその存在は常に保証されている)。そうすると、パート 1 で述べた A2+B2=pM だったので、
u2+v2≡A2+B2≡0(modM)
であり、ある r∈Z に対して u2+v2=rM である。また
r=Mu2+v2≤M(M/2)2+(M/2)2=2M<M
なので r<M である。
ここで r=0 と仮定すると {0=u≡A(modM)0=v≡B(modM) であるから、A,B は M の倍数でなければならず、A2+B2 は M2 の倍数であるべきだ。つまり M は p の倍数でなければならないが、パート 1 で M<p であることを示しているから、これは不可能であり、r は少なくとも 0 よりも大きくなければならない。要約すると、1≤r<M である。
パート 3.
コーシー-シュワルツの不等式 によれば、
====≡≡(u2+v2)(A2+B2)u2A2+v2A2+u2B2+v2B2(u2A2+2uAvB+v2B2)+(v2A2−2uAvB+u2B2)(uA+vB)2+(uA−vB)2(uA−vB)BA−AB(modM)0(modM)
だから (uA−vB) は M の倍数である。また、上記のパート 2 で述べた (uA+vB)≡AA+BB≡0(modM) なので、(uA+vB) も M の倍数である。
パート 4.
A2+B2=Mp であり、u2+v2=Mr なので
(u2+v2)(A2+B2)=M2rp
であり、コーシー-シュワルツの不等式を使うと、
(uA+vB)2+(uA−vB)2=M2rp
を得る。上記のパート 3 で (uA+vB) と (uA−vB) は M の倍数なので、両辺を M2 で割ると、
(MuA+vB)2+(MuA−vB)2=rp
これに対して新しい
A2:=(MuA+vB)B2:=(MuA−vB)M2:=r
を定義すると、再び
A22+B22=M2p
を得る。よって、このような Ak,Bk,Mk はパート 1~3 で定義された A,B,M と同じ性質を持つ。
上記のパート 2 で述べた r<M だったので、Mk は k が増加するたびに小さくなり、1≤r によって正確に M=1 で停止する。
(⟸)
p=a2+b2 は奇数なので、a と b が両方とも偶数または奇数であることはできない。
ある n,m∈Z に対して a:=2n+1、b=2m としよう。すると、
p===a2+b24n2+4n+1+4m24(n2+n+m)+1
だから、p≡1(mod4) である。
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コーシー-シュワルツの不等式を応用して条件をいくつか追加すれば、自然数に対しても似たような系を得ることができる。
系
奇数の m のすべての素数の約数を 4 で割った余りが 1 であるか、偶数の m に対して 2m が奇数であり、2m のすべての素数の約数を 4 で割った余りが 1 ⟺ gcd(a,b)=1 であるような a,b∈Z について、m=a2+b2
参考