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4で割ったときに余りが1になる素数の必要十分条件 📂整数論

4で割ったときに余りが1になる素数の必要十分条件

定理

p2p \ne 2素数 だとしよう。

ある a,bZa,b \in \mathbb{Z} について p1(mod4)p \equiv 1 \pmod{4}     \iff p=a2+b2p = a^2 + b^2

説明

p=2p=2 は省いたが、実際には 2=12+12 2= 1^2 + 1^2 だから、定理に含まれても問題ない。

例えば 131(mod4)13 \equiv 1 \pmod{4}13=4+9=22+32 13 = 4 + 9 = 2^2 + 3^2 371(mod4)37 \equiv 1 \pmod{4}37=1+36=12+62 37 = 1 + 36 = 1^2 + 6^2 611(mod4)61 \equiv 1 \pmod{4}61=25+36=52+62 61 = 25 + 36 = 5^2 + 6^2 これらの事実はそれ自体で面白いが、ガウスの素数との深い関連があり、数論をより高い次元に引き上げる。

証明

(    )( \implies )

パート 1.

p1(mod4)p \equiv 1 \pmod{4} であるから、ある kNk \in \mathbb{N} に対して p=4k+1p = 4k +1 と表せる。

オイラーの基準: ap12(ap)(modp)\displaystyle a^{{p-1} \over {2}} \equiv \left( {a \over p} \right) \pmod{p}

オイラーの基準によって (1p)(1)(4k+1)12(1)2k1(modp) \left( {{-1} \over {p}} \right) \equiv (-1)^{ {{ (4k + 1 ) - 1 } \over {2}} } \equiv (-1)^{2k} \equiv 1 \pmod{p} 従って 1-1pp二次剰余であり、c21(modp)c^{2} \equiv -1 \pmod{p} を満たす cZc \in \mathbb{Z} が存在する。両辺に B2B^2 を掛けて整理すると (cB)2+B20(modp) (cB)^2 + B^2 \equiv 0 \pmod{ p } である。A:=(cB)A := (cB) とおくと、ある MZM \in \mathbb{Z} に対して A2+B2=Mp A^2 + B^2 = Mp であり M=A2+B2p(p1)2+12p=p2p2p<p M = {{ A^2 + B^2 } \over {p}} \le {{ (p-1)^2 + 1^2 } \over {p}} = p - {{ 2p - 2 } \over {p}} < p だから M<pM < p である。これを MM へ継続的に縮小すると、M=1M=1 になり、ある a,bZa,b \in \mathbb{Z} に対して p=a2+b2p = a^2 + b^2 と言える。


パート 2. 1r<M1 \le r < M

uA(modM)vB(modM)M2u,vM2 u \equiv A \pmod{M} \\ v \equiv B \pmod{M} \\ - {{M} \over {2}} \le u,v \le {{M} \over {2}} を満たす u,vZu,v \in \mathbb{Z} を考える(例えば、M=13M=13A10(mod13)A \equiv 10 \pmod{13} ならば、u3(mod13)u \equiv -3 \pmod{13} だからその存在は常に保証されている)。そうすると、パート 1 で述べた A2+B2=pMA^2 + B^2 = pM だったので、 u2+v2A2+B20(modM) u^2 + v^2 \equiv A^2 + B^2 \equiv 0 \pmod{M} であり、ある rZr \in \mathbb{Z} に対して u2+v2=rMu^2 + v^2 = rM である。また r=u2+v2M(M/2)2+(M/2)2M=M2<M r = {{ u^2 + v^2 } \over {M}} \le {{ (M/2)^2 + (M/2)^2 } \over { M }} = { { M } \over { 2 } } < M なので r<Mr < M である。

ここで r=0r = 0 と仮定すると {0=uA(modM)0=vB(modM)\begin{cases} 0 = u \equiv A \pmod{M} \\ 0 = v \equiv B \pmod{M} \end{cases} であるから、A,BA, BMM の倍数でなければならず、A2+B2A^2 + B^2M2M^2 の倍数であるべきだ。つまり MMpp の倍数でなければならないが、パート 1 で M<pM < p であることを示しているから、これは不可能であり、rr は少なくとも 00 よりも大きくなければならない。要約すると、1r<M1 \le r < M である。


パート 3.

コーシー-シュワルツの不等式 によれば、 (u2+v2)(A2+B2)=u2A2+v2A2+u2B2+v2B2=(u2A2+2uAvB+v2B2)+(v2A22uAvB+u2B2)=(uA+vB)2+(uAvB)2=(uAvB)BAAB(modM)0(modM) \begin{align*} & (u^2 + v^2) ( A^2 + B^2 ) \\ =& u^2 A^2 + v^2 A^2 + u^2 B^2 + v^2 B^2 \\ =& ( u^2 A^2 + 2uAvB + v^2 B^2 ) + ( v^2 A^2 - 2uAvB + u^2 B^2 ) \\ =& ( uA + vB )^2 + ( uA - vB )^2 \\ =& ( uA - vB ) \\ \equiv& BA - AB \pmod{M} \\ \equiv& 0 \pmod{M} \end{align*} だから (uAvB)( uA - vB )MM の倍数である。また、上記のパート 2 で述べた (uA+vB)AA+BB0(modM)( uA + vB ) \equiv AA + BB \equiv 0 \pmod{M} なので、(uA+vB)( uA + vB )MM の倍数である。


パート 4.

A2+B2=MpA^2 + B^2 = Mp であり、u2+v2=Mru^2 + v^2 = Mr なので (u2+v2)(A2+B2)=M2rp (u^2 + v^2) ( A^2 + B^2 ) = M^2 r p であり、コーシー-シュワルツの不等式を使うと、 (uA+vB)2+(uAvB)2=M2rp ( uA + vB )^2 + ( uA - vB )^2 = M^2 r p を得る。上記のパート 3 で (uA+vB)( uA + vB )(uAvB)( uA - vB )MM の倍数なので、両辺を M2M^2 で割ると、 (uA+vBM)2+(uAvBM)2=rp \left( {{ uA + vB } \over {M}} \right)^2 + \left( {{ uA - vB } \over {M}} \right)^2 = r p これに対して新しい A2:=(uA+vBM)B2:=(uAvBM)M2:=r A_{2} : = \left( {{ uA + vB } \over {M}} \right) \\ B_{2} := \left( {{ uA - vB } \over {M}} \right) \\ M_{2} := r を定義すると、再び A22+B22=M2p A_{2}^{2} + B_{2}^{2} = M_{2} p を得る。よって、このような Ak,Bk,MkA_{k}, B_{k}, M_{k} はパート 1~3 で定義された A,B,MA, B, M と同じ性質を持つ。

上記のパート 2 で述べた r<Mr < M だったので、MkM_{k}kk が増加するたびに小さくなり、1r1 \le r によって正確に M=1M=1 で停止する。


(    )( \impliedby )

p=a2+b2p=a^2 + b^2 は奇数なので、aabb が両方とも偶数または奇数であることはできない。

ある n,mZn , m \in \mathbb{Z} に対して a:=2n+1a := 2n +1 b=2mb = 2m としよう。すると、 p=a2+b2=4n2+4n+1+4m2=4(n2+n+m)+1 \begin{align*} p =& a^2 + b^2 \\ =& 4n^2 + 4n + 1 + 4m^2 \\ =& 4 ( n^2 + n + m ) +1 \end{align*} だから、p1(mod4)p \equiv 1 \pmod{4} である。

コーシー-シュワルツの不等式を応用して条件をいくつか追加すれば、自然数に対しても似たような系を得ることができる。

奇数の mm のすべての素数の約数を 44 で割った余りが 11 であるか、偶数の mm に対して m2\displaystyle {{m} \over {2}} が奇数であり、m2\displaystyle {{m} \over {2}} のすべての素数の約数を 44 で割った余りが 11     \iff gcd(a,b)=1\gcd ( a,b) =1 であるような a,bZa,b \in \mathbb{Z} について、m=a2+b2m = a^2 + b^2

参考