📂抽象代数

抽象代数で表された代数学の基本定理

定義 ¹

体 $F$ の拡散体を$E$ としよう。

1. $F [ x ]$ の全ての多項式が$F$ でゼロを持つなら、$F$は 代数的に閉じている^{algebraically Closed}という。
2. $\overline{ F_{E}} : = \left\{ \alpha \in E \mid \alpha \text{ is algebraic over } F \right\}$ を$E$ 内の$F$ の代数的閉包^{algebraic Closure}という。

定理

• [1]: $F$ が代数的に閉じている場合、$\iff$ すべての$f(x) \in F [ x ]$ は$F [ x ]$ の$1$ 次元の項に分解される。
• [2]: 代数的に閉じた$F$ に対し$F \lneq E$ を満たす代数的拡散体 $E$ は存在しない。
• [4]: $\overline{ F_{E}}$ は$E$ の部分体だ。

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• ここでいう多項式はもちろん、定数関数を除く多項式を意味する。

説明

$\overline{F}$ は$E$ まで拡張した時、$F$ をカバーしながら我々が代数的に得られる要素の集まり全てを取り上げる集合だ。位相数学に少し慣れているなら$F$ に射影集合 $f '$ を合わせて得られる閉集合$\overline{F} = F \cup f '$ の感じで捉えてもいい。

これらの表現と定理を通じて、代数学の基本定理を次のように述べることができる。

複素数体 $\mathbb{C}$ は代数的に閉じている。

これを解き明かすと定理 [1] によって複素数を係数とする多項式たちは$\mathbb{C} [ x ]$ の$1$ 次の項に分解されることで、重根を含め、まさに最高次の項の次数と同じ数の零点を持つことになる。これはそのまま我々が元々知っていた代数学の基本定理と等価になる。

また、定理 [2] によって$\mathbb{C}$ を真部分集合^{proper subset}として持つ代数的拡散体は存在しないことが保証される。これはすなわち$\mathbb{C}$より大きな体を考える理由がないということで、実質的に我々が扱う体の中で$\mathbb{C}$ が最も大きいというように受け止めても良い。この事実は、関数解析学などで扱うベクター空間でスカラー場を複素数体として研究することを正当化してくれる。

証明

複素解析によって証明される。

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