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拡大体の定義とクロネッカーの定理の証明

拡大体の定義 ¹

体 $F$ にたいして $F \le E$ が存在する場合、$E$ を $F$ の拡大体^{extension field}という。

クロネッカーの定理

$f(x) \in F [ x ]$ が定数でないとすると、$F$ の拡大体 $E$ と $f ( \alpha ) = 0$ を満たす $\alpha \in E$ が存在する。

説明

拡大体の例として$\mathbb{C}$は$\mathbb{R}$の拡大体だ。クロネッカーの定理は、$F$ で多項式の根がすぐには存在しないかもしれないけれども、定義域を $E$ に拡大することができ、そして拡大すれば根が存在することを意味している。$F$ がどのように見えるかも知らずに拡大すれば根が存在するだろうというステートメント自体が、とても数学的な定理だ。

証明

パート1. $f(x)$ は定数関数ではないので、$F$ 上で既約元に一意に因数分解され、その既約元の一つを $p(x)$ とする。 すると、主イデアル $\left< p(x) \right>$ は $F [ x ]$ の極大イデアルであり、$F [ x ] / \left< p(x) \right>$ は体となる。

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パート2. 拡大体 $E$ の存在性

写像 $\psi : F \to F [ x ] / \left< p(x) \right>$ を次のように定義すると、$\psi$ は自然に準同型写像となる。 $$\psi (a) := a + \left< p(x) \right>$$

ある $a,b \in F$ に対して $\psi (a) = \psi (b)$ の場合 $$a + \left< p(x) \right> = b + \left< p(x) \right>$$ となるので、$(b-a) \in \left< p(x) \right>$ であり、これは $(b-a)$ が $p(x)$ の定数倍であることを意味する。しかし初めから $a, b \in F$ なので、$(b-a) \in F$ であり、$(b-a)$ が $p(x)$ の定数倍になるには $(b-a) = 0$ でなければならない。したがって $\psi$ は単射であり、$\psi$ は$F$ の各要素を $F [ x ] / \left< p(x) \right>$ のある部分体に送る同型写像となる。具体的に $E := F [ x ] / \left< p(x) \right>$ と定義すると $E$ が $F$ の拡大体となる。

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パート3. 根 $\alpha \in E$ の存在性

$\alpha : = x + \left< p(x) \right>$ とすると、まず $\alpha$ $\in E$ である。この $\alpha$ に対して代入関数 $\phi_{\alpha} : F [ x ] \to E$ を定義しよう。 選んだ既約元を具体的に$p(x) := a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$ と表すと

$$\begin{align*} p ( \alpha) =& \phi_{\alpha} ( p(x) ) \\ =& a_{0} + a_{1} ( x + \left< p(x) \right> ) + \cdots + a_{n} ( x + \left< p(x) \right> )^n \\ =& a_{0} + a_{1} ( x + \left< p(x) \right> ) + \cdots + a_{n} ( x^n + \left< p(x) \right> ) \\ =& \left( a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^n \right) + \left< p(x) \right> \\ =& p(x) + \left< p(x) \right> \\ =& 0 + \left< p(x) \right> \end{align*}$$

したがって、$F [ x ] / \left< p(x) \right>$ で $p( \alpha ) = 0$ が成り立ち、$\alpha$は$f ( \alpha ) = 0$ を満たす。

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