📂抽象代数

共変イデアル

定義 ¹

可換環 $R$のイデアル $P \ne R$が、$a, b \in R$および$ab \in P$に対して、$a \in P$または$b \in P$のとき、$P$を$R$の素イデアル^{prime Ideal}という。

説明

素という名称が示すように、元の積を分解することから始まる。

例えば整数環 $\mathbb{Z}$を考えると、$2 \mathbb{Z}$の全ての元は$2k$のように表され、$2 \in 2 \mathbb{Z}$であるため素イデアルになる。同じ論理で、任意の素数 $p$に対して、$p \mathbb{Z}$は全て$\mathbb{Z}$の素イデアルになる。しかし、$6 \mathbb{Z}$を考えると、$2 \cdot 3 \in 6 \mathbb{Z}$は真だが、$2 \notin 6 \mathbb{Z}$かつ$3 \notin 6\mathbb{Z}$であるため、$6 \mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の素イデアルにはなれない。

一方、素イデアルは整域に関連して以下の性質を持つ。これは極大イデアルと体の関係と類似している。

定理

可換環 $R$が単位元 $1_{R}$を持つとする。

• $P$は$R$の素イデアル $\iff$ $R / P$は整域である

証明

$( \implies )$

整域の定義

1. 環 $R$に対して、$ab = 0$を満たす非ゼロの$a,b \in R$を零因子^{zero Divisor}という。
2. 単位元$1 \ne 0$を持つ$D$が零因子を持たない場合、それを整域^{integral Domain}という。

$xy + P$が$R/P$の恒等元$(0 + P)$だとすると、$xy \in P$である。$P$は素イデアルであるため、$x \in P$または$y \in P$でなければならない。

• $x \in P$とすると、$x + P = P = 0 + P$であるため、$x = 0$
• $y \in P$とすると、$y + P = P = 0 + P$であるため、$y = 0$

したがって、$R/P$は零因子を持たず、$R / P$は整域となる。

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$( \impliedby )$

再び$xy \in P$を考える。

$$(x + P) ( y + P ) = xy + P = P = 0 + P$$ $0 + P$が整域$R/P$の恒等元であるため、$(x + P) = (0 + P )$または$(y + P) = (0 + P )$でなければならない。

• $(x + P) = (0 + P ) = P$と仮定すると、すぐに$x \in P$である。
• $(y + P) = (0 + P ) = P$と仮定しても、すぐに$y \in P$である。

したがって、$P$は素イデアルとなる。

■

また、極大イデアルと素イデアルに関する以下の系を得る。体がまず整域であることから明らかである。$I$が$R$の極大イデアルであれば、$R / I$は体であり、体が整域であるため、$I$は素イデアルである。

系

単位元 $1_{R}$を持つ可換環 $R$の極大イデアルは素イデアルである。