📂動力学

サドルノード分岐

定義

簡単な定義

サドルノードバイファーケーション^{saddle-node bifurcation}は、力学系のパラメータ変化によって不動点が生成または消滅するバイファーケーションである¹。

難しい定義

$$ \dot{x} = f \left( x , r \right) \qquad , x \in \mathbb{R}^{n} , r \in \mathbb{R}^{1} $$ 与えられた力学系の$f$が$x$と$\alpha$に対してスムーズであるとしよう。$\bar{x}$がこのシステムのハイパーボリックな不動点だとするとき、そのヤコビ行列$D f \left( \bar{x} \right)$の固有値の一つを$\lambda_{k}$とする。$\lambda_{k} = 0$が現れるか消えることに関連するバイファーケーションをサドルノードバイファーケーションと呼ぶ²。

ノーマルフォーム

サドルノードバイファーケーションは、次のノーマルフォームを持つ: $$ \dot{x} = r + x^{2} $$

ダイアグラム

サドルノードバイファーケーションのバイファーケーションダイアグラムは次のようになる:

説明

サドルノードバイファーケーションは、フォールドバイファーケーション^{fold bifurcation}、タンジェントバイファーケーション^{tangent bifurcation}、ブルースカイバイファーケーション^{blue sky bifurcation}とも呼ばれ、特にそのバイファーケーションポイントをターニングポイント^{turning point}または限界点^{limit point}と呼ぶこともある。

バイファーケーションを説明する際に最も典型的に言及される。

フォールド？

バイファーケーションダイアグラムで見るように、曲線が折りたたまれる形状であるために付けられた愛称である。特に、この現象は履歴現象と関連する文脈でより効果的な用語である。

ブルースカイ？

文字通り、青空（晴れた空）から雷が落ちるように、不動点が突然現れるために使われる表現である。バイファーケーションダイアグラムで、$r > 0$ だったところから、徐々に$r$ を減少させる方向を考えると、元々は不動点が存在しなかったが、$r = 0$ でサドルノードが突然現れる。