📂数理統計学

最高事後密度信頼区間

定義 ¹

パラメータ空間$\Theta$の部分集合$C \subset \Theta$が、データ$y$が与えられたときの有意水準$\alpha$における$100(1 - \alpha) % $の最高事後密度信用区間^hPDと呼ばれるのは$C : = \left\{ \theta \in \Theta \ | \ p ( \theta | y ) \ge k (\alpha) \right\}$を満たす場合である。

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• ここで$k(\alpha)$は$p(\theta \in C | y ) \ge 1 - \alpha$を満たす最大の定数である。

説明

数式や言葉よりも、図を通じて見る方がはるかに理解しやすい。

実際の計算では、積分値が$1 - \alpha$に近似するように$k$を継続的に調整しながら、数値的方法を使用する。

• 最初は信用区間にならないほど狭く設定されている。
• 二番目は保守的に広い範囲を選択して信用区間となるが、範囲が広すぎて役に立たない。
• 第三の緑色の部分の面積が$1 - \alpha$である場合、この時に得られる区間がHPD（最高事後密度）信用区間と呼ばれる。

このような区間が信用区間になるという説明は、[標本平均と標準誤差に依存していた信頼区間よりも](../752)はるかに直感的である。

等尾部信用区間

一方で、HPD信用区間の実際の計算が非常に難しいため、等尾部信用区間^{equal Tail Credible Interval}も使用される。名前からわかるように、それは $$ \int_{-\infty}^{ a } p(\theta | y) d \theta = \int_{b}^{ \infty } p(\theta | y) d \theta = {{ \alpha } \over {2}} $$ を等しくする$[a,b]$を指す。