📂微分方程式

n次導関数のラプラス変換

定理¹

以下の2つの条件を仮定する。

1. 任意の区間 $0 \le t \le A$において、関数 $f$, $f^{\prime}$, $\cdots$, $f^{(n-1)}$が連続であり、n階導関数 $f^{(n)}(t)$が部分的に連続であるとする。
2. $t \ge M$のとき、$|f(t)| \le Ke^{at}$, $|f^{\prime}(t)| \le Ke^{at}$, $\cdots$, $|f^{(n-1)}(t)| \le Ke^{at}$を満たす実数 $a$と正の数 $K$, $M$が存在する。

すると、$f$のn階導関数のラプラス変換 $\mathcal{L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\}$が $s>a$のときに存在し、その値は以下のようになる。

$$ \mathcal {L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -s^{n-1}f(0)- s^{n-2}f^{\prime}(0) -\cdots -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0) $$

説明

1階導関数の結果を繰り返し適用すれば、容易に導くことができる。

証明

• 2階導関数

  $$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f^{\prime \prime}(t) \right\} &= s\mathcal{L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\} -f^{\prime}(0) \\ &= s\Big( s\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -f(0) \Big) -f^{\prime}(0) \\ &= s^2\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -sf(0) -f^{\prime}(0) \end{align*} $$

• 3階導関数 $$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f^{(3)}(t) \right\} &= s\mathcal{L} \left\{ f^{\prime \prime}(t) \right\} -f^{\prime \prime}(0) \\ &= s\Big( s^2\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -sf(0) -f^{\prime}(0) \Big) -f^{\prime \prime}(0) \\ &= s^3\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -s^2f(0) -sf^{\prime}(0) -f^{\prime \prime}(0) \end{align*} $$

したがって、上記のプロセスを繰り返すと、n階導関数のラプラス変換を次のように求めることができる。

$$ \mathcal {L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -s^{n-1}f(0)- s^{n-2}f^{\prime}(0) -\cdots -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0) $$

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参照

• ラプラス変換表