線形汎関数が線形独立結合で表されるための必要十分条件
定理
$f, f_{1} , \cdots , f_{n}$ を定義域が $X$ の線形汎関数とする。
(a) $c_{1} , \cdots , c_{n} \in \mathbb{C}$ について $\displaystyle f = \sum_{i=1}^{n} c_{i} f_{i}$ $\iff$ $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f)$
(b) $f_{1} , \cdots , f_{n}$ が線形独立を満たす $f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ を満足する $x_{1} , \cdots , x_{n}$ が存在する。
ここで、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタだ。
説明
カーネルが同次性homogeneousの概念と関係していると考えると、線形同次微分方程式に役立つ事実だと推測できる。しかし、学ぶ立場からすると、証明が過度に長く、難しく、複雑なので、ただ事実をよく理解することを推奨する。
証明
(a)
戦略: $( \implies )$ カーネルの定義だけを使えば、簡単に示すことができる。具体的には、$c_{1} , \cdots , c_{n}$ を見つける。
$(\implies )$
$\displaystyle x \in \bigcap_{i=1}^{n} \ker ( f_{i} )$ だから、
$$ f_{i} ( x ) = 0 $$
$\displaystyle f(x) = \sum_{i=1}^{n} c_{i} f_{i} (x) = 0$ だから、
$$ x \in \ker (f) $$
まとめると、
$$ \bigcap_{i=1}^{n} \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f) $$
$( \impliedby )$
命題 $ \displaystyle P(n) : \bigcap_{i=1}^{n} \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f) \implies f = \sum_{i=1}^{n} c_{i} f_{i}$ を定義し、数学的帰納法を使おう。
$f = 0$ なら自明だから、$f \ne 0$ と仮定する。
Part 1. $n=1$
$\ker (f_{1} ) \subset \ker (f)$ だから、
$$ f_{1} \ne 0 $$
$$ f_{1} (x_{1} ) = 1 $$
$x_{1} \in X$ が存在して、$x \in X$ とすると、$x - f_{1} (x) x_{1} \in X$ で、これに $f_{1}$ を適用すると、
$$ f_{1} ( x - f_{1} (x) x_{1} ) = f_{1} ( x ) - f_{1} (x) f_{1} ( x_{1} ) = 0 $$
すなわち $x - f_{1} (x) x_{1} \in \ker (f_{1} ) \subset \ker (f)$ で、これに $f$ を適用すると、
$$ 0 = f ( x - f_{1} (x) x_{1} ) = f(x) - f_{1} (x) f_{1} (x_{1}) $$
まとめると、$f_{1} (x_{1}) \in \mathbb{C}$ について $f(x) = f_{1} (x_{1}) f_{1} (X)$ のように表せることになる。
Part 2. $n=N-1$
$P(N-1)$ が成立すると仮定する。
Part 3. $n=N$
Case 1. $f_{1} , \cdots , f_{N}$ が線形独立でない場合
$f_{1} , \cdots , f_{N}$ が線形独立でないので、
$$ t_{1} f_{1} + \cdots + t_{N} f_{N} = 0 $$
$$ t_{i_{0}} \ne 0 $$
何らかの $t_{i} \in \mathbb{C}$ が存在して、$f_{i_{0}}$ は
$$ \displaystyle f_{i_{0}} = {{1} \over { t_{i_{0}} }} \left( \sum_{i \ne i_{0}} t_{i} f_{i} \right) =\sum_{i \ne i_{0}} \left( {{t_{i} } \over { t_{i_{0}} }} \right) f_{i} $$
となり、
$$ \bigcap_{i \ne i_{0} } \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f_{ i_{0}} ) $$
$\displaystyle \bigcap_{i \ne i_{0} } \ker ( f_{i} )$ が $\displaystyle \ker (f_{ i_{0}} )$ に含まれるので、
$$ \bigcap_{i \ne i_{0} } \ker ( f_{i} ) = \left[ \bigcap_{i \ne i_{0} } \ker ( f_{i} ) \right] \cap \ker (f_{i_{0}} ) = \bigcap_{i=1}^{ N } \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f) $$
しかし、Part 2. で $P(N-1)$ が成立すると仮定したから、$\displaystyle f = \sum_{ i \ne i_{0}} c_{i} f_{i} + 0 f_{i_{0}}$ を満たす $c_{1} , \cdots , c_{N-1} \in \mathbb{C}$ が存在する。
Case 2. $f_{1} , \cdots , f_{N}$ が線形独立の場合
$1 \le k \le N$ に対して、$\displaystyle \bigcap_{ k \ne i } \ker ( f_{k} ) \subset \ker (f_{i} )$ と仮定すると、Part 2. で $P(N-1)$ が成立すると仮定していたので、ある $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{N} \in \mathbb{C}$ に対して、$\displaystyle f_{i} = \sum_{ k \ne i } \lambda_{k} f_{k}$ となり、$f_{1} , \cdots , f_{N}$ は線形独立でなくなり、$\displaystyle \bigcap_{ k \ne i } \ker ( f_{k} ) \not\subset \ker (f_{i} )$ でなければならない。それで、 $$ \displaystyle y_{i} \in \left[ \bigcap_{ k \ne i } \ker ( f_{k} ) \right] \setminus \ker (f_{i} ) $$
$$ y_{i} \in \ker (f_{i} ) $$
$y_{1} , \cdots , y_{N} \in X$ が存在する。これに対して、$\displaystyle x_{i} := {{ y_{i}} \over {f_{i} ( y_{i} ) }}$ を定義すると、
$$ \begin{cases} \displaystyle f_{j} (x_{i} ) = {{ f_{j} (y_{i}) } \over { f_{i} (y_{i} ) }} = 0 \\ \displaystyle f_{i} (x_{i} ) = {{ f_{i} (y_{i}) } \over { f_{i} (y_{i} ) }} = 1 \end{cases} \implies f_{j} ( x_{ i} ) = \delta_{ij} = \begin{cases} 0 & , i \ne j \\ 1 & , i = j \end{cases} $$
今、任意の $x \in X$ で定義された $\displaystyle x - \sum_{i=1}^{N} f_{j} (x) x_{j}$ に $f_{i}$ を適用すれば、すべての $i = 1 , \cdots , N$ に対して
$$ \begin{align*} f_{i } \left( x - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) x_{j} \right) =& f_{j} (x) - \sum_{i=1}^{N} f_{j} (x) f_{i} ( x_{j} ) \\ =& f_{i} (x) - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) \delta_{ij} \\ =& f_{i} (x) - f_{i} (x) \\ =& 0 \end{align*} $$
集合の包含関係で表すと、
$$ \left( x - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) x_{j} \right) \in \bigcap_{i=1}^{N} \ker ( f_{i} ) \subset \ker (f) $$
カーネルの定義に従って $\displaystyle x - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) x_{j}$ に $f$ を適用すると、
$$ f \left( x - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) x_{j} \right) = f(x) - \sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) f ( x_{j} ) = 0 $$
$$ \implies f(x) =\sum_{j=1}^{N} f_{j} (x) f ( x_{j} ) = \left[ \sum_{j=1}^{N} f_{j} f ( x_{j} ) \right] (x) $$
$$ \implies f = \sum_{j=1}^{N} f ( x_{j} ) f_{j} $$
すなわち、$f$ は具体的な $f ( x_{1} ) , \cdots , f ( x_{N} ) \in \mathbb{C}$ に対して、$f_{1} , \cdots , f_{N}$ の線形結合として表される。
従って、$f_{1} , \cdots , f_{N}$ が線形独立であるかどうかに関わらず、命題 $P(n)$ は全ての $n \in \mathbb{N}$ に対して成立する。
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(b)
戦略: 実質的には (a) の帰結だ。
$(\implies)$
実際に、証明(a) -$(\impliedby)$-Part 3. -Case 2. で、$f_{1} , \cdots , f_{n}$ が線形独立ならば、$f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ を満たす $\displaystyle x_{i} := {{ y_{i}} \over {f_{i} ( y_{i} ) }}$ が存在していた。
$(\impliedby)$
$f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ を満たす $x_{1} , \cdots , x_{n}$ が存在する場合、$c_{1} f_{1} (x) + \cdots + c_{n} f_{n} (x) = 0$ を考える。$x_{1}$ を代入すると、
$$ c_{1} f_{1} (x_{1} ) + 0 + \cdots + 0 = c_{1} = 0 $$
同様に $x_{i}$ を代入すると、
$$ 0 + \cdots + 0 + c_{i} f_{i} + 0 + \cdots + 0 = c_{i} = 0 $$
従って、$c_{1} f_{1} (x) + \cdots + c_{n} f_{n} (x) = 0$ を満たすケースは $c_{1} = \cdots = c_{n} = 0$ のみであり、$f_{1} , \cdots , f_{n}$ は線形独立だ。
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