環の単位元が冪等元であれば、直和として表すことができる
定理
単位元 $1$ を持つ環 $R$ が零因子 $a$ で $a^2 = a$ を満たす時、すなわち冪等元であるならば、$R$ は $aR$ と $(1-a)R$ の唯一の直積として表されます。 $$ R = a R \times (1-a)R $$
説明
別に環の直和を定義しなくてもわかるほど、数学らしい魅力のある定理だ。
証明
Part (i). 存在性
$r \in R$ について $$ ar \in aR \\ (1-a) r \in (1-a) R $$ であり、$r = ar + (1-a)r$ だから $R = a R \times (1-a)R$ だ。
Part (ii). 独自性
$r_{1}, r_{2}, r_{3} , r_{4} \in R$ について $$ \begin{align*} a r_{1} =& x_{1} \in aR \\ a r_{3} =& x_{2} \in aR \\ (1-a) r_{2} =& y_{1} \in (1-a) R \\ (1-a) r_{4} =& y_{2} \in (1-a) R \end{align*} $$ とし、$x_{1} = x_{2}$ と $y_{1} = y_{2}$ を示せばいい。 $$ \begin{align*} & x_{1} + y_{1} = x_{2} + y_{2} \\ \implies& a r_{1} + (1-a) r_{2} = a r_{3} + (1-a) r_{4} \\ \implies& a^2 r_{1} + a(1-a) r_{2} = a^2 r_{3} + a(1-a) r_{4} \end{align*} $$ $a^2 = a$ であり、$a(1-a) = a - a^2 = a-a = 0$ だから、 $$ x_{1} = a r_{1} = a^2 r_{1} = a^2 r_{3} = a r_{3} = x_{2} $$ 同じように $$ a r_{1} + (1-a) r_{2} = a r_{3} + (1-a) r_{4} $$ であり、$a r_{1} = a r_{3}$ だから $$ (1-a) r_{2} = (1-a) r_{4} $$ したがって、次を得る。 $$ y_{1} = (1-a) r_{2} = (1-a) r_{4} = y_{2} $$
Part (iii). 排他性
$x \in aR \cap (1-a)R$ とし、ある $r_{1} , r_{2} \in R$ に対して $$ x = a r_{1} = (1-a) r_{2} $$ である。両辺に $a$ を掛けると $$ ax = a^2 r_{1} = a(1-a) r_{2} = (a - a^2) r_{2} = 0 \cdot r_{2} = 0 $$ である。$x=a r_{1} = a^2 r_{1} = 0$ だから、次を得る。 $$ aR \cap (1-a)R = \left\{ 0 \right\} $$
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参照