📂抽象代数

第2同型定理の証明

サマリー ¹

• 第一同型定理：準同型写像$\phi : G \to G'$が存在すれば $$G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$$
• 第二同型定理：$H \le G$かつ$N \triangleleft G$ならば $$(HN) / N \simeq H / (H \cap N)$$
• 第三同型定理：$H , K \triangleleft G$かつ$K \leq H$ならば $$G/H \simeq (G/K) / (H/K)$$

同型定理は、代数学者のエミー・ネーターによって証明され、上述の3つの独立した定理を指す。

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• $\ker$はカーネルである。
• $N \triangleleft G$は、$N$が$G$の正規部分群であることを意味する。

解説

第二同型定理が使用されるほとんどの場合で、$HN := \left\{ hn \ | \ h \in H , n \in N \right\}$は二つの正規部分群$H , N \triangleleft G$の積として考えても問題ないが、これは$HN \triangleleft G$が簡単な計算を通じて容易に示される。第二同型定理の商群の表現を少し修正すると $${{HN} \over {N}} \simeq {{H } \over { H \cap N }}$$ これは、分子と分母で共通する因子を消す、いわば「約分」と見ることができるだろう。

証明

戦略：$\phi : HN \to H / ( H \cap N)$を $$\phi (hn) := h(H \cap N)$$ と定義しよう。$\phi$が典型的な写像で、$N$が$\ker \phi$であることを示した後、第一同型定理を使えば証明は完結する。

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Part 1. $\phi$は関数だ。

• $\phi$の定義域は$HN$であるため、$x \in HN$とすれば、ある$h_{x} \in H$と$n_{x} \in N$の積$x = h_{x} n_{x}$として表される。
• $\phi$の値域は$H / \left( H \cap N \right)$であるため、$\phi$による$x \in HN$の関数値$\phi (x)$は、剰余類$\left( H \cap N \right)$である$H$の元$h_{x} \in H$が左から乗じた形$h_{x} \left( H \cap N \right)$として現れる。

したがって、$x,y \in HN$に対して $$\begin{align*} & x = y \\ \implies& h_{x} n_{x} = x = y = h_{y} n_{y} \\ \implies& H \ni h_{y}^{-1} h_{x} = n_{y} n_{x}^{-1} \in N \\ \implies& h_{y}^{-1} h_{x} \in \left( H \cap N \right) \\ \implies& h_{x} \in h_{y} \left( H \cap N \right) \\ \implies& h_{x} (H \cap N) = h_{y} (H \cap N) \\ \implies& \phi \left( h_{x} n_{x} \right) = \phi \left( h_{y} n_{y} \right) \\ \implies& \phi (x) = \phi (y) \end{align*}$$ となるので、$\phi$は関数である。

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Part 2. $\phi$は準同型写像だ。

$h_{1} n_{1} , h_{2} n_{2} \in HN$に対して $$\begin{align*} \phi ( ( h_{1} n_{1} ) ( h_{2} n_{2} ) ) =& \phi ( h_{1} h_{2} n_{1} n_{2} ) \\ =& h_{1} h_{2} (H \cap N) \\ =& h_{1} (H \cap N) h_{2} (H \cap N) \\ =& \phi (h_{1} n_{1} ) \phi ( h_{2} n_{2} ) \end{align*}$$ したがって、$\phi$は準同型写像である。

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Part 3. $\phi$は全射だ。

$e$を$N$の単位元としよう。そうすると、すべての$h(H \cap N) \in H / (H \cap N )$に対して $$\phi (hn) = h (H \cap N )$$ 条件を満たす$h e = h \in HN$が存在するので、$\phi$は全射である。

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Part 4. $N = \ker ( \phi )$

$( \subset )$$n \in N$ならば$\phi (n) = \phi ( en) = e (H \cap N ) = H \cap N$であるので $$n \in \ker ( \phi )$$ $( \supset )$$hn \in \ker ( \phi)$ならば$\phi (hn) = H \cap N$から$hn \in ( H \cap N )$であるので $$hn \in N$$

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Part 5.

第一同型定理：準同型写像$\phi : G \to G'$が存在すれば$G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$

$\phi : HN \to H / ( H \cap N)$は準同型写像であり全射であるので、$\phi ( NH ) = H / ( H \cap N)$。一方で、$N = \ker ( \phi )$のため、第一同型定理により以下が成立する。 $$(HN) / N \simeq H / (H \cap N)$$

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