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第一同型定理の証明 📂抽象代数

第一同型定理の証明

定理 1

G,GG,G'だとしよう。

  • 第一同型定理: 準同型写像 ϕ:GG\phi : G \to G' が存在するならば G/ker(ϕ)ϕ(G) G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)
  • 第二同型定理: HGH \le G かつ NGN \triangleleft G の場合 (HN)/NH/(HN) (HN) / N \simeq H / (H \cap N)
  • 第三同型定理: H,KGH , K \triangleleft G かつ KHK \leq H の場合 G/H(G/K)/(H/K) G/H \simeq (G/K) / (H/K)

同型定理isomorphism theoremは、代数学者エミー・ネーターによって証明された三つの独立した定理を指す。


  • ker\kerである。
  • NGN \triangleleft G は、NNGG正規部分群であることを意味する。

説明

20180723\_142000.png

第一同型定理は、上の図の赤色に相当する同型写像 μ\color{red} {\mu} が存在することを意味している。これは、群において ϕ\phi に対して不必要な部分を捨て、をある種の「単位」として扱うだけの構造を残すことができることを示している。

証明

K:=ker(ϕ)K : = \ker ( \phi ) とする。μ:G/Kϕ(G)\mu : G / K \to \phi (G)μ(xK)=ϕ(x)\mu (xK) = \phi ( x) として定義しよう。μ\mu同型写像であることを示せばよい。


第1部. μ\mu は関数である。

x,yGx,y \in GGG' の単位元 ee' に対して

xK=yK    x1yK    ϕ(x1y)=e    ϕ(x1)ϕ(y)=e    ϕ(x)1ϕ(y)=e    ϕ(x)=ϕ(y) \begin{align*} & xK = yK \\ \iff & x^{-1} y \in K \\ \iff & \phi ( x^{-1} y ) = e' \\ \iff & \phi ( x^{-1} ) \phi ( y ) = e' \\ \iff & \phi ( x ) ^{-1} \phi ( y ) = e' \\ \iff & \phi ( x ) = \phi ( y ) \end{align*} 従って xK=yK    ϕ(x)=ϕ(y)xK = yK \implies \phi ( x ) = \phi ( y ) なので μ\mu は関数である。


第2部. μ\mu は単射である。

第1部のプロセスを逆にたどれば ϕ(x)=ϕ(y)    xK=yK\phi ( x ) = \phi ( y ) \implies xK = yK となるので μ\mu は単射である。


第3部. μ\mu は全射である。

μ(G/K)={μ(xK)  xG}={ϕ(x)  xG}=ϕ(G)\mu ( G / K ) = \left\{ \mu (xK) \ | \ x \in G \right\} = \left\{ \phi (x) \ | \ x \in G \right\} = \phi (G) だから、μ\mu は全射である。


第4部. μ\mu は準同型写像である。

x,yGx,y \in G に対して μ(xKyK)=μ(xyK)=ϕ(xy)=ϕ(x)ϕ(y)=μ(xK)μ(yK) \mu (xKyK) = \mu (xyK) = \phi (xy) = \phi (x) \phi (y) = \mu (xK) \mu (yK) 従って μ\mu は準同型写像である。

一般化

一方で、第一同型定理を環に対して拡張した定理が知られている。証明方法はほぼ同じで、群と異なり、加法と乗法の二つの操作を考える点が異なる。

準同型写像の基本定理: 環 RR, rr ' に対して準同型写像 ϕ:Rr\phi : R \to r ' が存在するならば R/ker(ϕ)ϕ(R)R / \ker ( \phi ) \simeq \phi (R)


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p307~309. ↩︎