第一同型定理の証明
📂抽象代数第一同型定理の証明
定理
G,G′ が群だとしよう。
- 第一同型定理: 準同型写像 ϕ:G→G′ が存在するならば
G/ker(ϕ)≃ϕ(G)
- 第二同型定理: H≤G かつ N◃G の場合
(HN)/N≃H/(H∩N)
- 第三同型定理: H,K◃G かつ K≤H の場合
G/H≃(G/K)/(H/K)
同型定理isomorphism theoremは、代数学者エミー・ネーターによって証明された三つの独立した定理を指す。
- ker は核である。
- N◃G は、N が G の正規部分群であることを意味する。
説明

第一同型定理は、上の図の赤色に相当する同型写像 μ が存在することを意味している。これは、群において ϕ に対して不必要な部分を捨て、核をある種の「単位」として扱うだけの構造を残すことができることを示している。
証明
K:=ker(ϕ) とする。μ:G/K→ϕ(G) を μ(xK)=ϕ(x) として定義しよう。μ が同型写像であることを示せばよい。
第1部. μ は関数である。
x,y∈G と G′ の単位元 e′ に対して
⟺⟺⟺⟺⟺xK=yKx−1y∈Kϕ(x−1y)=e′ϕ(x−1)ϕ(y)=e′ϕ(x)−1ϕ(y)=e′ϕ(x)=ϕ(y)
従って xK=yK⟹ϕ(x)=ϕ(y) なので μ は関数である。
第2部. μ は単射である。
第1部のプロセスを逆にたどれば ϕ(x)=ϕ(y)⟹xK=yK となるので μ は単射である。
第3部. μ は全射である。
μ(G/K)={μ(xK) ∣ x∈G}={ϕ(x) ∣ x∈G}=ϕ(G)
だから、μ は全射である。
第4部. μ は準同型写像である。
x,y∈G に対して
μ(xKyK)=μ(xyK)=ϕ(xy)=ϕ(x)ϕ(y)=μ(xK)μ(yK)
従って μ は準同型写像である。
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一般化
一方で、第一同型定理を環に対して拡張した定理が知られている。証明方法はほぼ同じで、群と異なり、加法と乗法の二つの操作を考える点が異なる。
準同型写像の基本定理: 環 R, r′ に対して準同型写像 ϕ:R→r′ が存在するならば R/ker(ϕ)≃ϕ(R)