📂抽象代数

등방部分群

定義 ¹

群 $G$ に対して $X$ を$G$-集合と呼ぼう。$x \in X$ と $g \in G$ に対して $X_{g} := \left\{ x \in X \ | \ gx = x \right\}$ そして $G_{x} := \left\{ g \in G \ | \ gx = x \right\}$ とする。$G_{x}$ を $x$ に関する $G$の等方部分群^{isotropy Subgroup}と定義する。

説明

等方部分群が何かを掴むためには、群の作用に対する理解が必要だ。

上の図の左側の点と線の集合 $$X : = \left\{ 1,2,3,4 , C, p_{1}, p_{2} , p_{3} , p_{4} , s_{1}, s_{2} , s_{3} , s_{4} , d_{1}, d_{2} , m_{1} , m_{2} \right\}$$ について、正二十面体群 $G = D_{4}$ を考えてみよう。$X$ は $D_{4}$-集合になる。簡単に言えば、$X_{g}$ は $g$ に影響されない集合であり、$G_{x}$ は $x$ に影響を与えることができない部分群になる。ここで、$C$ は $X$ の中心であり、$\rho_{0}$ は $G$ の単位元で、すべての $x,g$ に対して $C \in X_{g}$ と $\rho_{0} \in G_{x}$ が成立する。

以下の例が実際に上の図と一致するか確認してみよう： $$\begin{align*} X_{\rho_{0}} =& X \\ X_{\rho_{1}} =& C \\ X_{\mu_{1}} =& \left\{ C, p_{1}, p_{3} , s_{1} , s_{3} , m_{1} , m_{2} \right\} \\ G_{1} =& \left\{ \rho_{0} , \delta_{2} \right\} \\ G_{s_{3}} =& \left\{ \rho_{0} , \mu_{1} \right\} \\ G_{d_{1} } =& \left\{ \rho_{0} , \rho_{2} , \delta_{1} , \delta_{2} \right\} \end{align*}$$ ここで、$x_{1} , x_{2} \in X$ に対して $g x_{1} = x_{2}$ を満たす $g \in G$ が存在する場合、同値関係 $x_{1} \sim x_{2}$ を定義してみよう。$x$ が $\sim$ による分割のセルに属している場合、そのセルを $x$ の軌道^orbitと呼び、$Gx$ と書く。難しそうだけど、ただ $X$ は $\left\{ C \right\} , \left\{ 1,2,3,4 \right\} , \left\{ p_{1}, p_{2} , p_{3} , p_{4} \right\} , \left\{ s_{1}, s_{2} , s_{3} , s_{4} \right\} , \left\{ d_{1}, d_{2} \right\} , \left\{ m_{1} , m_{2} \right\}$ のように分割されるという話だ。

注意すべき点は、$G_{x}$ と $Gx$ が添字で区別されるということだ。例えば、$G_{1}$ は $1$ に影響を与えることができない等方部分群であり、$G_{1} = \left\{ \rho_{0} , \delta_{2} \right\}$ であり、$G1$ は $1$ の軌道であり、$G1 = \left\{ 1,2,3,4 \right\}$ である。

一般的に、次のような定理を考えてみよう。ラグランジュの定理を思い出させるかもしれないが、注記をよく見るとあまり関係がない。

定理

$X$ が $G$-集合であれば、$|Gx| = ( G : G_{x})$ である。$G$ が有限群であれば、$|Gx|$ は $|G|$ の約数である。

---

• $( G : G_{x})$ は $G_{x}$ の剰余類の数であり、$G / G_{x}$ は $G_{x}$ の剰余類の集合である。

証明

$x_{1} \in Gx$ とすると、$g_{1} x = x_{1}$ を満たす $g_{1} \in G$ が存在する。$\psi : Gx \to G / G_{x}$ を $\psi (x_{1}) := g_{1} G_{x}$ と定義した場合、$\psi$ が全単射であることを示せばよい。

---

パート1. $\psi$ は関数だ。

$g_{1} x = x_{1}$ とした場合、$g_{1}’ x = x_{1}$ を満たす $g_{1} ' \in G_{x}$ が存在すると仮定してみよう。すると、$g_{1} x = g_{1}’ x$ であり、$x = (g_{1}^{-1} g_{1} ’ ) x$ であるため、$(g_{1}^{-1} g_{1} ’ ) \in G_{x}$ でなければならない。したがって、$g_{1} ' \in g_{1} G_{x}$ であり、$g_{1} G_{x} = g_{1}’ G_{x}$ であるため、$\psi$ は関数である。

---

パート2. $\psi$ は単射だ。

$x_{1} , x_{2} \in Gx$ であり、$\psi (x_{1} ) =\psi (x_{2} )$ とすると、$x_{1} =g_{1} x$、$x_{2} = g_{2} x$、そして$g_{2} \in g_{1} G_{x}$ を満たす $g_{1} , g_{2} \in G$ が存在する。ある $g \in G_{x}$ に対して、$g_{2} = g_{1} g$ であり、$x_{2} = g_{2} x = g_{1} (g x) = g_{1} x = x_{1}$ である。$\psi (x_{1} ) =\psi (x_{2} ) \implies x_{1} = x_{2}$ であるため、$\psi$ は単射である。

---

パート3. $\psi$ は全射だ。

$G_{x}$ の剰余類 $g_{1} G_{x}$ に対して、$g_{1} x = x_{1}$ であれば、$g_{1} G_{x} = \psi ( x_{1} )$ である。すべての $\psi ( x_{1} )$ に対して、$x_{1} \in Gx$ であるため、$\psi$ は全射である。

パート1~3で、$\psi$ は全単射であることが示されたので、以下が成立する。 $$| Gx | = |G / G_{x}| = ( G : G_{x} )$$

---

パート4.

もし $|G| < \infty$ であれば、$|G| = |G_{x} | (G : G_{x}) = |G_{x} | |Gx|$ であり、$|Gx|$ は $|G|$ の約数である。

■