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チホノフの定理の証明 📂位相幾何学

チホノフの定理の証明

概要

インデックス集合 A\mathscr{A} が与えられているとする。

{Xα ∣ α∈A}\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\} が コンパクト 空間の集合であれば、X:=∏α∈AXα\displaystyle X : = \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_{ \alpha} はコンパクトである。

説明

この定理は一見すると些細な性質のように見えるが、実際はその逆だ。些細に見えても、意外にも証明が非常に難しく、そのために名前がつけられたのだ。位相空間のデカルト積に関してもコンパクト性が保持されるというのは、非常に役立つことだ。

証明

Uα⊂XαU_{\alpha} \subset X_{\alpha} を XαX_{\alpha} のオープン集合とし、射影 pα:X→Xαp_{\alpha} : X \to X_{\alpha} に対して、次のように XX の積位相を生成する部分基底を定義する。 S:={pα−1(Uα) ∣ Uα⊂Xα,α∈A} \mathscr{S} : = \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha} ) \ | \ U_{\alpha} \subset X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\} アレクサンダ－部分基底定理を利用するために、S\mathscr{S} の全てのオープンカバーが有限部分カバーを持つことを示そう。

アレクサンダ－部分基底定理: XX が位相空間だとする。 XX はコンパクトである。S\mathscr{S} のメンバーで構成される XX の全てのオープンカバーが有限部分カバーをもたらすような XX のいくつかの部分基底 S\mathscr{S} が存在する。

パート1.

有限部分カバーを持たないオープンカバー U⊂S\mathscr{U} \subset \mathscr{S} が存在すると仮定する。

VV を XαX_{\alpha} からのオープン集合とする。全ての α∈A\alpha \in \mathscr{A} に対して Uα={V∣pα−1(V)∈U} \mathscr{U}_{\alpha} = \left\{ V \mid p_{\alpha}^{-1} (V) \in \mathscr{U} \right\} とすると、U\mathscr{U} は次のようになる。 U=⋃α∈A{pα−1(V) ∣ V∈Uα} \mathscr{U} = \bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}} \left\{ p_{\alpha}^{-1} (V) \ | \ V \in \mathscr{U}_{\alpha} \right\}

パート2. Uα\mathscr{U}_{\alpha} が XαX_{\alpha} のオープンカバーではないことを示す。

Uα\mathscr{U}_{\alpha} が XαX_{\alpha} をカバーすると仮定する。

XαX_{\alpha} はコンパクトであるため、Xα=⋃i=1nUαi\displaystyle X_{\alpha } = \bigcup_{i=1}^{n} U_{\alpha_{i}} を満たす Uα1,⋯ ,Uαn∈UαU_{\alpha_{1}} , \cdots , U_{\alpha_{n}} \in \mathscr{U}_{\alpha} が存在する。それならば {pα−1(Uαi) ∣ i=1,⋯ ,n} \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha_{i}} ) \ | \ i = 1, \cdots , n \right\} は、パート1での U\mathscr{U} の定義と矛盾する、U\mathscr{U} の有限部分カバーとなる。従って、Uα\mathscr{U}_{\alpha} は XαX_{\alpha} をカバーできない。

パート3.

Uα\mathscr{U}_{\alpha} が XαX_{\alpha} のカバーではないため、全ての Uα∈UαU_{\alpha} \in \mathscr{U}_{\alpha} に対して、xα∉Uαx_{\alpha} \notin U_{\alpha} を満たす xα∈Xαx_{\alpha} \in X_{\alpha} が存在する。それならば、全ての U∈UU \in \mathscr{U} に対して、pα−1(xα)∉Up_{\alpha}^{-1} (x_{\alpha} ) \notin U であり、U\mathscr{U} は XX をカバーできない。これは、有限部分カバーを持たないオープンカバー U⊂S\mathscr{U} \subset \mathscr{S} が存在しないことを意味する。アレクサンダ－部分基底定理によって、XX はコンパクトである。

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