📂ルベーグ空間

ルベーグ空間におけるヘルダーの不等式の証明

定理¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合としよう。次の式を満たす二つの定数$1 \lt p \lt \infty, 1 \lt p^{\prime} \lt \infty$が与えられたとする。

$$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{\prime}} = 1 \left(\text{or } p^{\prime} = \frac{p}{p-1} \right)$$

もし$u \in L^p(\Omega)$と$v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$ならば$uv \in L^1(\Omega)$であり、下記の不等式が成り立つ。

$$\| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}$$

この不等式をヘルダーの不等式^{ヘルダーの不等式}という。

説明

$p^{\prime}$は$p$のヘルダー共役^{ヘルダー共役}または共役指数^共役指数と呼ばれる。$q$と表記することが多い。

$| u(x) |^{p}$と$| v(x) |^{p^{\prime}}$が$\Omega$においてほとんど至る所で比例関係にある場合、等式が成り立つ。

本質的にユークリッド空間におけるヘルダーの不等式と同じで、$p=p^{\prime}=2$の時にコーシー・シュワルツの不等式になるのも同様だ。証明自体はコーシー・シュワルツの不等式の証明と同じで、ヤングの不等式が追加されただけである。

次のような形での一般化も可能である。

$$\| uv \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \| u \|_{p} \| v\|_{p^{\prime}}$$

$$\| u \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \prod_{j=1}^{N} \| u_{j} \|_{{p}_j} = \| u_{1} \|_{{p}_1} \cdots \| u_{N} \|_{p_{N}}$$

証明

ヤングの不等式

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$を満たし、1より大きい二つの定数$p, p^{\prime}$と二つの正の数$a,b$に対して

$$ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{p^{\prime}}} \over {p^{\prime}}}$$

• ケース1. $\| u \|_{p} = 0$または$\| v \|_{p^{\prime}} = 0$

  $\Omega$のほとんど至る所で$u(x) = 0$であるか、$\Omega$のほとんど至る所で$v(x) = 0$であるため、$\Omega$のほとんど至る所で$u(x)v(x) = 0$である。したがって

  $$\left| \int_{\Omega} u(x) v(x) dx \right| = \| uv \|_{1} = 0$$

  そして

  $$\| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} = 0$$

  となり、不等式が成り立つ。

• ケース2. その他の場合

  ヤングの不等式に$a = \dfrac{\left| u(x) \right|}{\| u \|_{p}}$と$b = \dfrac{\left| v(x) \right|}{\| v \|_{p^{\prime}}}$を代入する。すると

  $$\dfrac{\left| u(x) \right|}{\| u \|_{p}} \dfrac{\left| v(x) \right|}{\| v \|_{p^{\prime}}} \le \dfrac{ \left| u(x) \right|^{p}}{ p \| u \|_{p}^{p}} + \dfrac{\left| v(x) \right|^{p^{\prime}}}{ p^{\prime} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}}$$

  両辺を積分すると以下のようになる。

  $$\begin{align*} \dfrac{1}{\| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}} \int_{\Omega}\left| u(x)v(x) \right| dx \le & \dfrac{1}{p \| u \|_{p}^{p}} \int_{\Omega} \left| u(x) \right|^{p} dx + \dfrac{1}{ p^{\prime} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}} \int_{\Omega} \left| v(x) \right|^{p^{\prime}} dx \\ \le & \dfrac{1}{p \| u \|_{p}^{p}} \| u \|_{p}^{p} + \dfrac{1}{ p^{\prime} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} \\ \le & \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{ p^{\prime} } \\ =& 1 \end{align*}$$

  左辺の定数を移行すると

  $$\| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}$$

  よって$uv \in L^{1}(\Omega)$であり、不等式が成り立つ。

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関連項目

• ユークリッド空間におけるヘルダーの不等式
• 一般化されたヘルダーの不等式