📂関数

ウォリス積

定理

$$\prod_{n=1}^{\infty} {{4n^2} \over {4n^2 - 1}} = \lim_{n \to \infty} {{2 \cdot 2 } \over { 1 \cdot 3 } } \cdot {{4 \cdot 4 } \over { 3 \cdot 5 } } \cdot \cdots \cdot {{2n \cdot 2n } \over { (2n-1) \cdot (2n+1) } } = {{ \pi } \over {2}}$$

説明

級数だけではなく、積で円周率を求められるというのは、言うまでもなく興味深く、役立つ事実だ。本来の証明は、これよりも難しく、実質的にはシンク関数のオイラー表現を証明する過程に含まれていると言える。

証明

シンク関数のオイラー表現: $${{\sin x} \over {x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right)$$

$\displaystyle x = {{ \pi } \over {2}}$ を代入すると $${{2} \over {\pi}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - { {1} \over { 4 n^2} } \right)$$ 両辺に逆数を取ると、求めていた式を得る。

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