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フーリエ級数を用いた偏微分方程式の解法 📂偏微分方程式

フーリエ級数を用いた偏微分方程式の解法

定義

ヒルベルト空間の関数 f∈L2[−π,π]f \in \mathcal{L}^{2} [- \pi , \pi] について ak=1π∫−ππf(x)cos⁡kxdx\displaystyle a_{k} = {{1} \over {\pi}} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx そして bk=1π∫−ππf(x)sin⁡kxdx\displaystyle b_{k} = {{1} \over {\pi}} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin kx dx について

f(x)∼a02+∑k=1∞(akcos⁡kx+bxsin⁡kx) f(x) \sim {{a_{0}} \over {2}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k} \cos kx + b_{x} \sin kx \right)

を ff のフーリエ級数fourier seriesと言う。

説明

テイラー級数がある関数を多項式で近似するのと違って、フーリエ級数は三角多項式で近似する。このように複雑な形をしたフーリエ級数は、従来のテイラー級数ではアプローチが難しい様々な関数に適用できるため、便利だ。しかし、フーリエ級数が収束するかについての保証はなく、収束しても正確にff に収束するかは別の問題だ。学部レベルの偏微分方程式の解析のため、このような問題はいったん置いておくが、この欠陥については知っておく必要がある。

便宜上、これからは==を∼\simの代わりに使用することにする。なぜフーリエ級数をそのような形で定義するのかを見てみよう。L2\mathcal{L}^2 がLp\mathcal{L}^{p} から p=2p=2 の場合であるので、f,g:[−π,π]→Rf,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R} に対して次のように内積とノルムを定義できる。

<f,g>:=1π∫−ππf(x)g(x)dx∥f∥:=<f,f>:=1π∫−ππ∣f(x)∣2dx \left< f, g \right> := {{1} \over{\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) dx \left\| f \right\| : = \left< f, f \right> := \sqrt{ {{1} \over{\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| ^2 dx }

偶関数sin⁡kx\sin k x と奇関数cos⁡kx\cos k x は k≠lk \ne l に対して <cos⁡kx,cos⁡lx>=<sin⁡kx,cos⁡lx>=0\displaystyle \left< \cos kx , \cos lx \right> = \left< \sin kx , \cos lx \right> = 0 だ。もちろんk=lk = l に対しても <cos⁡lx,sin⁡lx>=<sin⁡lx,cos⁡lx>=0\displaystyle \left< \cos lx , \sin lx \right> = \left< \sin lx , \cos lx \right> = 0 だ。三角関数同士の内積で00 にならない場合は<cos⁡lx,cos⁡lx>≠0≠<sin⁡lx,sin⁡lx>\displaystyle \left< \cos lx , \cos lx \right> \ne 0 \ne \left< \sin lx , \sin lx \right> だけだ。

以上の事実を利用して <f,cos⁡lx>f\left< f, \cos lx \right> f を計算してみると、内積の線形性により

<f,cos⁡lx>=a02<1,cos⁡lx>+∑k=1∞(ak<cos⁡kx,cos⁡lx>+bx<sin⁡kx,cos⁡lx>)=al \left< f, \cos lx \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left< 1 , \cos lx \right> + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k} \left< \cos kx , \cos lx \right> + b_{x} \left< \sin kx , \cos lx \right> \right) = a_{l}

を得る。同様に<f,sin⁡lx>=bl\left< f , \sin lx \right> = b_{l} を得ることができ、

<f,1>=a02<1,1>=a02∥1∥2=a02 \left< f , 1 \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left< 1, 1 \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left\| 1 \right\| ^2 = {{a_{0}} \over {2}}

だ。

ff を三角多項式で近似することは、ff を三角関数のベクトル空間へ射影することだ。線形代数の観点から各項について考えると、その形状は<f(x),cos⁡nx>cos⁡nx\left< f(x) , \cos nx \right> \cos nx または <f(x),sin⁡nx>sin⁡nx\left< f(x) , \sin nx \right> \sin nx であり、関数 ff を基底 {cos⁡nx,sin⁡nx ∣ n∈N}\left\{ \cos nx , \sin nx \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} へ射影することと見なせる。

奇関数と偶関数の性質を利用することで、これだけではなく、以下の公式を通じて計算量を大幅に削減できる。

f∈L2[−π,π]f \in \mathcal{L}^{2} [-\pi , \pi ] が奇関数の場合、ak=2π∫0πf(x)cos⁡kxdx\displaystyle a_{k} = {{2} \over {\pi}} \int_{0} \pi f(x) \cos kx dx に対して

f(x)∼a02+∑k=1∞akcos⁡kx f(x) \sim {{a_{0 } } \over {2 }} + \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cos kx

f∈L2[−π,π]f \in \mathcal{L}^{2} [-\pi , \pi ] が偶関数の場合、bk=2π∫0πf(x)sin⁡kxdx\displaystyle b_{k} = {{2} \over {\pi}} \int_{0} \pi f(x) \sin kx dx に対して

f(x)∼∑k=1∞bksin⁡kx f(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sin kx

一方、f,g:[−π,π]→Cf,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{C} に対して次のような定義を導入すると、複素数への一般化が可能だ。

<f,g>:=12π∫−ππf(x)g(x)‾dx \left< f, g \right> := {{1} \over{2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{ g(x) } dx

∥f∥:=<f,f>:=12π∫−ππ∣f(x)∣2dx \left\| f \right\| : = \left< f, f \right> := \sqrt{ {{1} \over{2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| ^2 dx }

f(x)∼∑k∈Zckeikx=⋯+c−2e−i2x+c−1e−ix+c0+c1eix+c2ei2x+⋯ f(x) \sim \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{k} e^{ikx} = \cdots +c_{-2}e^{-i 2 x } + c_{-1}e^{-i x } + c_{0} +c_{1}e^{i x } + c_{2}e^{i 2 x } + \cdots

ck=<f,eikx>=12π∫−ππf(x)e−ikxdx c_{k} = \left<f , e^{ikx} \right> = {{1} \over {2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-ikx} dx

オイラーの公式から、cos⁡kx=eikx+e−ikx2\displaystyle \cos kx = {{e^{ikx} + e^{-ikx} } \over {2}} そして sin⁡kx=eikx−e−ikx2i\displaystyle \sin kx = {{e^{ikx} - e^{-ikx} } \over {2i}} であるため、

ck+c−k=12π∫−ππf(x)(eikx+e−ikx)dx=12π∫−ππf(x)⋅2cos⁡kxdx=1π∫−ππf(x)cos⁡kxdx=ak \begin{align*} c_{k} + c_{-k} =& {{1 } \over {2 \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \left(e^{ikx} + e^{-ikx} \right) dx \\ =& {{1 } \over { 2 \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot 2 \cos kx dx \\ =& {{1 } \over { \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx \\ =& a_{k} \end{align*}

同様にbk=i(ck−c−k)b_{k} = i (c_{k} - c_{-k}) を得ることができる。

したがって、一見標準化定数が変わったように見えるが、実際は f,g:[−π,π]→Rf,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R} をきちんとカバーしていることがわかる。ご覧の通り、これらの技術を少なくとも大まかに理解するためには、線形代数学、複素解析学、実解析学などの背景知識が必要だ。

参照