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支配収束定理の証明 📂測度論

支配収束定理の証明

定理 1

測定可能集合 E∈ME \in \mathcal{M} と g∈L1(E)g \in \mathcal{L}^{1} (E) について、数列の測定可能関数 {fn}\left\{ f_{n} \right\} が EE のほとんど至る所で ∣fn∣≤g|f_{n}| \le g を満たすとする。もし、EE のほとんど至る所で f=lim⁡n→∞fn\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n} ならば、f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E) が成り立つ。 lim⁡n→∞∫Efn(x)dm=∫Efdm \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm

説明

単調収束定理と比べると、条件 fn↗ff_{n} \nearrow f がなく、fn≥0f_{n} \ge 0 である必要もなくなった。

興味深いことに、{fn}\left\{ f_{n} \right\} を「支配」できる gg が必要だが、結果には gg が現れない。

証明

パート 1.

f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E) であることを示す。

EE で ∣fn∣≤g|f_{n}| \le g があるため、すべての x∈Ex \in E に対して −g(x)≤fn≤g(x)-g(x) \le f_{n} \le g(x) が成り立つ。整理すると、 0≤fn(x)+g(x)≤2g(x)0 \le f_{n} (x) + g(x) \le 2 g(x) で、n→∞n \to \infty の時、 0≤f(x)+g(x)≤2g(x)0 \le f (x) + g(x) \le 2 g(x) したがって、 (f+g)∈L1(E)(f+g) \in \mathcal{L}^{1}(E) 一方で、f=(f+g)+(−g)f = (f + g ) + ( -g) であり、L1(E)\mathcal{L}^{1}(E) はベクトル空間であるため、f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E) が成り立つ。

パート 2.

fn≥0f_{n} \ge 0 と仮定する。

ファトゥの補題: 非負の測定可能関数の数列 {fn}\left\{ f_{n} \right\} に対して、 ∫Efdm≤lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm

仮定とファトゥの補題により、 ∫Efdm≤lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm であり、lim sup⁡n→∞∫Efndm≤∫Efdm\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm を示せばよい。

g−fng-f_{n} にファトゥの補題を再適用すると、 ∫Elim⁡n→∞(g−fn)dm≤lim inf⁡n→∞∫E(g−fn)dm\displaystyle \int_{E} \lim_{n \to \infty} (g - f_{n}) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} (g - f_{n} ) dm となる。ここで、f,g≥0f, g \ge 0 であるため、左辺は ∫Elim⁡n→∞(g−fn)dm=∫Egdm−∫Efdm\displaystyle \int_{E} \lim_{n \to \infty} (g - f_{n}) dm =\int_{E} g dm - \int_{E} f dm 右辺は lim inf⁡n→∞∫E(g−fn)dm=lim inf⁡n→∞(∫Egdm−∫Efndm)=∫Egdm−lim sup⁡n→∞∫Efndm \begin{align*} & \liminf_{n \to \infty} \int_{E} (g - f_{n} ) dm \\ =& \liminf_{n \to \infty} \left( \int_{E} g dm - \int_{E} f_{n} dm \right) \\ =& \int_{E} g dm - \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \end{align*} 整理すると、 ∫Egdm−∫Efdm≤∫Egdm−lim sup⁡n→∞∫Efndm \int_{E} g dm - \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm - \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm g∈L1(E)g \in \mathcal{L}^{1} (E) であるため、∫Egdm<∞\displaystyle \int_{E} g dm < \infty が成り立ち、両辺から削除が可能で、符号を整理すると以下を得る。 lim sup⁡n→∞∫Efndm≤∫Efdm\limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm

パート 3.

fn≥0f_{n} \ge 0 でない場合に一般化する。hn:=fn+gh_{n} := f_{n} + g と定義すると、hn≥0h_{n} \ge 0 であるため、パート 2で行ったプロセスを繰り返すことができる。

■

  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p92. ↩︎