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測度論でのほとんど至る所とほとんど確実に 📂測度論

測度論でのほとんど至る所とほとんど確実に

定義 1

関数 function f:E→R‾f : E \to \overline{\mathbb{R}} が、E0⊂EE_{0} \subset E の集合(ここで m(E0)=0m(E_{0}) = 0)を除いて、ある性質 PP を持つ場合、ff は EE のほとんど至る所で PP の性質を持つと言われる。

表記

確率を話す時に、ほとんど至る所ではほとんど確実にと表現され、短く書くために f=g a.e.P(E)=0 a.s. f = g \text{ a.e.} \\ P(E) = 0 \text{ a.s.} という略語を使うことがある。

説明

簡単に言えば、零集合を除いた全ての点を’ほとんど至る所’と見ることである。この概念は正式に定義されただけで、高校で定積分を学んだ時に既に知っていたことだ。そのため、上限と下限が同じなら、その定積分は必ず 00 であり、端点が含まれるかどうかを確率を計算する時には無視した。

基本的な性質

  • [1]: f:E→Rf : E \to \mathbb{R} が計測可能で、EE のほとんど至る所で f=gf = g ならば、gg は EE で計測可能である。
  • [2]: f,gf,g が EE で計測可能で、EE のほとんど至る所で ∣f∣,∣g∣<∞|f| , |g| < \infty ならば、αf+βg\alpha f + \beta g は EE で計測可能である。
  • [3]: f,gf,g が EE で計測可能で、EE のほとんど至る所で ∣f∣,∣g∣<∞|f| , |g| < \infty ならば、fgf g は計測可能である。

証明

これらの性質は、一度は手で直接証明してみることが良いが、[3]を除いてはそれほど面白くなさそうだ。

[1]

E0={x∈E ∣ f(x)≠g(x)}E_{0} = \left\{ x \in E \ | \ f(x) \ne g(x) \right\} とすると、E0⊂EE_{0} \subset E かつ m(E0)=0m(E_{0}) = 0。任意の cc に対して {x∈E ∣ g(x)>c}={x∈E0 ∣ g(x)>c}∪[{x∈E ∣ f(x)>c}∩(E∖E0)] \left\{ x \in E \ | \ g(x) > c \right\} = \left\{ x \in E_{0} \ | \ g(x) > c \right\} \cup \left[ \left\{ x \in E \ | \ f(x) > c \right\} \cap ( E \setminus E_{0} ) \right] , 右辺の項を一つずつ見ると、{x∈E0 ∣ g(x)>c}⊂E0\left\{ x \in E_{0} \ | \ g(x) > c \right\} \subset E_{0} のため、 {x∈E0 ∣ g(x)>c}∈M \left\{ x \in E_{0} \ | \ g(x) > c \right\} \in \mathcal{M} , ff は EE で計測可能なので、 {x∈E ∣ f(x)>c}∈M \left\{ x \in E \ | \ f(x) > c \right\} \in \mathcal{M} , 最後に、 E∩(R∖E0)=(E∖E0)∈M E \cap (\mathbb{R} \setminus E_{0}) = ( E \setminus E_{0} ) \in \mathcal{M} , よって {x∈E ∣ g(x)>c}∈M\left\{ x \in E \ | \ g(x) > c \right\} \in \mathcal{M} であり、gg は EE で計測可能である。

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[2]

α=0\alpha = 0 なら、αf\alpha f は計測可能で、β=0\beta = 0 なら、βg\beta g は計測可能である。

α≠0\alpha \ne 0 なら、ff が計測可能なので、任意の cα\displaystyle {{c} \over {\alpha}} に対して {x∈E ∣ f(x)>cα}∈M \left\{ x \in E \ \left| \ f(x) > {{c} \over {\alpha}} \right. \right\} \in \mathcal{M} , ここで α>0\alpha> 0 なら、 {x∈E ∣ αf(x)>c}∈M \left\{ x \in E \ | \ \alpha f(x) > c \right\} \in \mathcal{M} , そして α<0\alpha <0 なら、 {x∈E ∣ αf(x)<c}∈M \left\{ x \in E \ | \ \alpha f(x) < c \right\} \in \mathcal{M} , 従って、αf\alpha f は計測可能であり、同じ方法で β≠0\beta \ne 0 の時に βg\beta g も計測可能であるとも示せる。

今、(f+g)(f + g) が計測可能、つまり {x∈E ∣ f(x)+g(x)<c}∈M\left\{ x \in E \ | \ f(x) + g(x) < c \right\} \in \mathcal{M} を示せば、証明は終了する。両関数は有限の値を持つため、全ての x∈Ex \in E に対して f(x)+g(x)<cf(x) + g(x) < c を満たす c∈Rc \in \mathbb{R} が存在するであろう。再び表示すると、f(x)<c−g(x)f(x) < c - g(x) で、有理数の密集性により、f(x)<q<c−g(x)f(x) < q < c - g(x) を満たす q∈Qq \in \mathbb{Q} が存在する。そうすると、 ⋃q∈Q{x∈E ∣ g(x)<c−q}∩{x∈ ∣ Ef(x)<q}={x∈E ∣ f(x)+g(x)<c}∈M \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \left\{ x \in E \ | \ g(x) < c - q \right\} \cap \left\{ x \in \ | \ E f(x) < q \right\} = \left\{ x \in E \ | \ f(x) + g(x) < c \right\} \in \mathcal{M}

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Strategy[3]**: fgfg が計測可能であることを示すアイデアは、fg=12[(f+g)2−f2−g2]\displaystyle fg = {{1} \over {2}} \left[ (f+ g)^2 - f^2 - g^2\right] の等式一つに要約される。

[3]

すでに [2]で、発散しない計測可能関数の和が計測可能であることを示したので、f2f^2 が計測可能であることを示せば十分である。ff が計測可能なので、全ての cc に対して {x∈E ∣ f(x)>c}∈M{x∈E ∣ f(x)<−c}∈M \left\{ x \in E \ | \ f(x) > \sqrt{c} \right\} \in \mathcal{M} \\ \left\{ x \in E \ | \ f(x) < - \sqrt{c} \right\} \in \mathcal{M} , 従って、 {x∈E ∣ f(x)>c}∪{x∈E ∣ f(x)<−c}={x∈E ∣ f2(x)>c}∈M \left\{ x \in E \ | \ f(x) > \sqrt{c} \right\} \cup \left\{ x \in E \ | \ f(x) < - \sqrt{c} \right\} = \left\{ x \in E \ | \ f^2 (x) > c \right\} \in \mathcal{M}

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参照

  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p55. ↩︎