📂幾何学

放物線の接線の方程式導出

導出

傾きが与えられた場合

まずは傾きが与えられた場合を見ていこう。

放物線 $y^{ 2 }=4px$に接する直線の方程式が$y=mx+n$である時、二つの図形は一点でのみ会わなければならないので $$(mx+n)^{ 2 }=4px \implies m^{ 2 }x^{ 2 }+2(mn-2p)x+n^{ 2 }=0$$ 根の公式により $$\frac { D }{ 4 }=m^{ 2 }n^{ 2 }-4mnp+4p^{ 2 }-m^{ 2 }n^{ 2 }=0$$ この式を整理すると$n=\frac { p }{ m }$であり、これを直線の方程式に代入すると放物線に接する直線の方程式は次のように求められる。 $$y=mx+\frac { p }{ m }$$

一点が与えられた場合

次は一点が与えられた場合だ。しかし、元の厳密な証明は過度に単純で、導出の助けにはならないので、少し緩いが微分を使用した別の導出を紹介する。

直線$y=mx+\frac { p }{ m }$は放物線$y^{ 2 }=4px$の接線だ。$y^{ 2 }=4px$を$x$について微分すると$2y\prime y=4p$になる。放物線上の点$(x_{ 1 },y_{ 1 })$で、$y\prime =\frac { 2p }{ y_{ 1 } }$　$y\prime$は直線$y=mx+\frac { p }{ m }$の傾きと同じなので $$y=\frac { 2p }{ y_{ 1 } }x+\frac { y_{ 1 } }{ 2p }p$$ 上の式の両辺に$y_{ 1 }$を掛けると $$y_{ 1 }y=2px+\frac { y_{ 1 }^{ 2 } }{ 2 }$$ となる。点$(x_{ 1 },y_{ 1 })은$は放物線上の点なので、$y_{ 1 }^{ 2 }=4px_{ 1 }$を上の式に代入すると $$y_{ 1 }y=2px+\frac { 4px_{ 1 } }{ 2 }$$ となる。したがって、点$(x_{ 1 },y_{ 1 })$を通る接線の方程式は次のように求められる。 $$y_{ 1 }y=2p(x_{ 1 }+X)$$