📂集合論

対偶法の数理論理的証明

法則 ¹

$$ p \to q \iff \lnot q \to \lnot p $$

説明

ある命題が真ならばその対偶も真であり、ある命題が偽ならばその対偶も偽である。もちろん逆^converseが成り立つならば、対偶法によって元の命題の裏^reverseも成り立つ。

このような表現は、数学に慣れていない人には難しすぎるかもしれない。直観的な例を挙げて理解してみよう:

• $p$ : 天気が暑い
• $q$ : 汗が出る
• $p \to q$ : 天気が暑ければ汗が出る

天気が暑ければ汗が出るということが真ならば、汗が出ていなければ、他のことはさておき、天気が暑いわけではないことが分かる。

証明

$$ \begin{align*} p \to q \iff & \lnot p \lor q \\ \iff & \lnot p \lor \lnot (\lnot q) \\ \iff & \lnot (\lnot q) \lor \lnot p \\ \iff & \lnot q \to \lnot p \end{align*} $$

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