同次関数と1階微分方程式
📂微分方程式同次関数と1階微分方程式
証明
f(x,y)dx+g(x,y)dy=0
ここでy≡uxと置換するとu=xy、dy=udx+xduなので、与えられた微分方程式は次のようになる。
f(x,y)dx+g(x,y)[udx+xdu]=0
さらに、f,gが同次関数であるため、以下が成立する。
f(x,y)g(x,y)=f(x⋅1,x⋅xy)=xnf(1,xy)=xnf(1,u)=g(x⋅1,x⋅xy)=xng(1,xy)=xng(1,u)
したがって、与えられた式をxとuだけで表すと、次のようになる。
⟹⟹⟹⟹xnf(1,u)dx+xng(1,u)[udx+xdu]f(1,u)dx+g(1,u)[udx+xdu]f(1,u)dx+g(1,u)udx+g(1,u)xdu[f(1,u)+ug(1,u)]dxx−1dx=0=0=0=−xg(1,u)du=f(1,u)+ug(1,u)g(1,u)du
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重要な点は、fとgが同じ次数である場合のみ、分離可能な形に変えることができるということだ。異なる次数の同次関数の場合は、分離可能な形に変えることができない。
Example
1
dxdy=f(xy)
When substituting with y≡ux, since dxdy=u+xdxdu, the given differential equation is
⟹⟹⟹u+xdxduudx+xduxdux1dx=f(u)=f(u)dx=[f(u)−u]dx=f(u)−u1du
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例
1
dxdy=f(xy)
y≡uxで置換するとdxdy=u+xdxduなので、与えられた微分方程式は
⟹⟹⟹u+xdxduudx+xduxdux1dx=f(u)=f(u)dx=[f(u)−u]dx=f(u)−u1du
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2
3x2ydxdy−2xy2+y3=0
In the definition above, where g(x,y)=3x2y and f(x,y)=−2xy2+y3 are given. When substituting with y≡ux, since dxdy=u+xdxdu, the given differential equation is as follows.
⟹⟹⟹⟹3x2(ux)(xdxdu+u)−2x(ux)2+(ux)33ux4dxdu+3u2x3−2u2x3+u3x33xdxdu+3u−2u+u23xdxduu2+u3du=0=0=0=−u2−u=x−1dx
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2
3x2ydxdy−2xy2+y3=0
上の定義で、g(x,y)=3x2y、f(x,y)=−2xy2+y3である場合。y≡uxで置換するとdxdy=u+xdxduなので、与えられた微分方程式は次のようになる。
⟹⟹⟹⟹3x2(ux)(xdxdu+u)−2x(ux)2+(ux)33ux4dxdu+3u2x3−2u2x3+u3x33xdxdu+3u−2u+u23xdxduu2+u3du=0=0=0=−u2−u=x−1dx
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