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同次関数と1階微分方程式 📂微分方程式

同次関数と1階微分方程式

証明

f(x,y)dx+g(x,y)dy=0 f(x,y)dx+g(x,y)dy=0

ここでyuxy \equiv uxと置換するとu=yxu=\dfrac{y}{x}dy=udx+xdudy=udx+xduなので、与えられた微分方程式は次のようになる。

f(x,y)dx+g(x,y)[udx+xdu]=0 f(x,y)dx+g(x,y)[udx+xdu]=0

さらに、f,gf, gが同次関数であるため、以下が成立する。

f(x,y)=f(x1,xyx)=xnf(1,yx)=xnf(1,u)g(x,y)=g(x1,xyx)=xng(1,yx)=xng(1,u) \begin{align*} f(x,y) &= f(x\cdot 1,x \cdot \frac{y}{x})=x^n f(1,\frac{y}{x})=x^n f(1,u) \\ g(x,y) &= g(x\cdot 1,x \cdot \frac{y}{x})=x^n g(1,\frac{y}{x})=x^n g(1,u) \end{align*}

したがって、与えられた式をxxuuだけで表すと、次のようになる。

xnf(1,u)dx+xng(1,u)[udx+xdu]=0    f(1,u)dx+g(1,u)[udx+xdu]=0    f(1,u)dx+g(1,u)udx+g(1,u)xdu=0    [f(1,u)+ug(1,u)]dx=xg(1,u)du    1xdx=g(1,u)f(1,u)+ug(1,u)du \begin{align*} && x^n f(1,u)dx+x^n g(1,u)[udx+xdu] &= 0 \\ \implies && f(1,u)dx + g(1,u)[udx+xdu] &= 0 \\ \implies && f(1,u)dx + g(1,u)udx + g(1,u)xdu &= 0 \\ \implies && [ f(1,u)+ug(1,u)]dx &= -xg(1,u)du \\ \implies && \dfrac{-1}{x} dx &= \dfrac{g(1,u)}{ f(1,u)+ug(1,u) } du \end{align*}

重要な点は、ffggが同じ次数である場合のみ、分離可能な形に変えることができるということだ。異なる次数の同次関数の場合は、分離可能な形に変えることができない。

Example

1

dydx=f(yx) \dfrac{dy}{dx}=f \left( \frac{y}{x} \right)

When substituting with yuxy \equiv ux, since dydx=u+xdudx\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}, the given differential equation is

u+xdudx=f(u)    udx+xdu=f(u)dx    xdu=[f(u)u]dx    1xdx=1f(u)udu \begin{align*} && u+x\dfrac{du}{dx} &= f(u) \\ \implies && udx+xdu &= f(u)dx \\ \implies && xdu &= [f(u)-u]dx \\ \implies && \dfrac{1}{x}dx &= \dfrac{1}{f(u)-u} du \end{align*}

===

1

dydx=f(yx) \dfrac{dy}{dx}=f \left( \frac{y}{x} \right)

yuxy \equiv uxで置換するとdydx=u+xdudx\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}なので、与えられた微分方程式は

u+xdudx=f(u)    udx+xdu=f(u)dx    xdu=[f(u)u]dx    1xdx=1f(u)udu \begin{align*} && u+x\dfrac{du}{dx} &= f(u) \\ \implies && udx+xdu &= f(u)dx \\ \implies && xdu &= [f(u)-u]dx \\ \implies && \dfrac{1}{x}dx &= \dfrac{1}{f(u)-u} du \end{align*}

2

3x2ydydx2xy2+y3=0 3x^2y \dfrac{dy}{dx}-2xy^2+y^3=0

In the definition above, where g(x,y)=3x2yg(x,y)=3x^2y and f(x,y)=2xy2+y3f(x,y)=-2xy^2+y^3 are given. When substituting with yuxy \equiv ux, since dydx=u+xdudx\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}, the given differential equation is as follows.

3x2(ux)(xdudx+u)2x(ux)2+(ux)3=0    3ux4dudx+3u2x32u2x3+u3x3=0    3xdudx+3u2u+u2=0    3xdudx=u2u    3u2+udu=1xdx \begin{align*} && 3x^2(ux)\left( x\dfrac{du}{dx}+u\right) -2x(ux)^2+(ux)^3 &= 0 \\ \implies && 3ux^4\dfrac{du}{dx}+3u^2x^3-2u^2x^3+u^3x^3 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx}+3u-2u+u^2 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx} &= -u^2-u \\ \implies && \dfrac{3}{u^2+u} du &= \dfrac{-1}{x}dx \end{align*}

===

2

3x2ydydx2xy2+y3=0 3x^2y \dfrac{dy}{dx}-2xy^2+y^3=0

上の定義で、g(x,y)=3x2yg(x,y)=3x^2yf(x,y)=2xy2+y3f(x,y)=-2xy^2+y^3である場合。yuxy \equiv uxで置換するとdydx=u+xdudx\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}なので、与えられた微分方程式は次のようになる。

3x2(ux)(xdudx+u)2x(ux)2+(ux)3=0    3ux4dudx+3u2x32u2x3+u3x3=0    3xdudx+3u2u+u2=0    3xdudx=u2u    3u2+udu=1xdx \begin{align*} && 3x^2(ux)\left( x\dfrac{du}{dx}+u\right) -2x(ux)^2+(ux)^3 &= 0 \\ \implies && 3ux^4\dfrac{du}{dx}+3u^2x^3-2u^2x^3+u^3x^3 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx}+3u-2u+u^2 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx} &= -u^2-u \\ \implies && \dfrac{3}{u^2+u} du &= \dfrac{-1}{x}dx \end{align*}