📂位相幾何学

位相数学者のサイン曲線と距離空間

定義 ¹

1. 次のように定義される$S$は位相数学者のサイン曲線^{topologist’s Sine curve}と呼ばれる。 $$ S : = \left\{ (0,y) \ | \ y \in [-1,1] \right\} \cup \left\{ \left. \left( x, \sin {{1} \over {x}} \right) \ \right| \ x \in (0,1] \right\} $$
2. 次のように定義される$C$は位相数学者の櫛空間^{comb space}と呼ばれる。 $$ C := \left\{ (0,y) \ | \ y \in [0,1] \right\} \cup \left\{ (x,0) \ | \ x \in [0,1] \right\} \cup \left\{ \left( {{1} \over {n}} , y \right) \ | \ y \in [0,1] , n \in \mathbb{N} \right\} $$

説明

数式で表されるよりも、図そのものを覚えておく方がよい。名前が示すように、これらは位相数学で興味深い性質を持つ空間であり、様々な命題の反例として有用である。

サイン曲線

サイン曲線を$1$から$0$に描いたとしても間違いなく$y$軸に接することになるが、近づくほど$[-1,1]$で激しく乱れ、正確にこれら二つを繋ぐ経路を見つけることができない。

櫛空間

櫛空間は$x$軸の線分を通じて全てが連結されているが、$y$軸上のどんな開集合でも局所連結になることはない。

コード

さらに、この投稿で使用された図を描くためのRコードを残しておく。

win.graph(7,3.5)
par(mfrow=c(1,2))
 
X = seq(0.0001,2,0.0001)
plot(X,sin(1/X),ylim=c(-1,1),type='l',xlim=c(0,1),main='(1) 위상수학자의 사인 곡선',xlab=NA,ylab=NA)
segments(0,0,0,1)
 
plot(NA,ylim=c(0,1),type='l',xlim=c(0,1),main='(2) 위상수학자의 빗 공간',xlab=NA,ylab=NA)
segments(0,0,1,0)
segments(0,0,0,1)
segments(1/1:1000,0,1/1:1000,1)