📂位相幾何学

位相数学者のサイン曲線と櫛空間

定義 ¹

1. 次のように定義された$S$を位相数学者のサイン曲線^{topologist’s Sine curve}という。 $$ S : = \left\{ (0,y) \ | \ y \in [-1,1] \right\} \cup \left\{ \left. \left( x, \sin {{1} \over {x}} \right) \ \right| \ x \in (0,1] \right\} $$
2. 次のように定義された$C$を位相数学者の櫛空間^{comb space}という。 $$ C := \left\{ (0,y) \ | \ y \in [0,1] \right\} \cup \left\{ (x,0) \ | \ x \in [0,1] \right\} \cup \left\{ \left( {{1} \over {n}} , y \right) \ | \ y \in [0,1] , n \in \mathbb{N} \right\} $$

説明

数式で表した表現よりは図そのものを覚えるようにしよう。これらは名前に表れているように位相数学において興味深い性質を持つ空間であり、いくつかの命題の反例として有用に使われる。

サイン曲線

サイン曲線を$1$から$0$へ描いていくと考えると、明らかに$y$軸に触れることは触れるだろう。しかし近づけば近づくほどその軌跡は$[-1,1]$で激しく揺れ動き、正確にこの二つをつなぐ経路を取ることができない。

櫛空間

櫛空間は$x$軸の線分を通じてすべて連結されてはいるが、$y$軸上のある開集合で局所連結になることができない。

コード

加えて、この投稿で使用された図を描くためのRコードを残す。

win.graph(7,3.5)
par(mfrow=c(1,2))
 
X = seq(0.0001,2,0.0001)
plot(X,sin(1/X),ylim=c(-1,1),type='l',xlim=c(0,1),main='(1) 위상수학자의 사인 곡선',xlab=NA,ylab=NA)
segments(0,0,0,1)
 
plot(NA,ylim=c(0,1),type='l',xlim=c(0,1),main='(2) 위상수학자의 빗 공간',xlab=NA,ylab=NA)
segments(0,0,1,0)
segments(0,0,0,1)
segments(1/1:1000,0,1/1:1000,1)