📂位相幾何学

接着補助定理の証明

概要

ある位相空間 $X,Y$ と二つの閉集合 $A,B \subset X$ が $A \cup B = X$ を満たし、二つの連続関数 $f : A \to Y$ と $g : B \to Y$ が全ての $x \in A \cap B$ に対して $f(x) = g(x)$ であるとしよう。すると、以下のように定義された $h$ は連続関数だ。 $$h(x) : = \begin{cases} f(x), & x \in A \\ g(x), & x \in B \end{cases}$$

説明

貼り合わせ補題^{gluing lemma}とも呼ばれるこの補題は、文章を読むだけで理解できるほど自明だ。わざわざ補題という名前が付き、証明された理由は、頻繁に使われるので名前を付ける方が便利で、証明可能だったからだろう。

証明

$h$ が連続であることを示すために、閉集合 $C \subset Y$ を考える。

• $f$ が連続関数 $\iff$ であれば、全ての閉集合 $C \subset Y$ に対して、$f^{-1} (C)$ は $X$ で閉集合である。

$f$ と $g$ は連続なので、$f^{-1}(C)$ は $A$ で閉集合であり、$g^{-1}(C)$ は $B$ で閉集合である。$A$ と $B$ が $X$ で閉集合であるという前提から、$f^{-1}(C)$ と $g^{-1}(C)$ も $X$ で閉集合である。 $$\begin{align*} h^{-1} (C) =& \left\{ x \in X \ | \ h(x) \in C \right\} \\ =& \left\{ x \in A \ | \ h(x) \in C \right\} \cup \left\{ x \in B \ | \ h(x) \in C \right\} \\ =& \left\{ x \in A \ | \ f(x) \in C \right\} \cup \left\{ x \in B \ | \ g(x) \in C \right\} \\ =& f^{-1} (C) \cup g^{-1} (C) \end{align*}$$ は $X$ での閉集合同士の和集合であるので、$h^{-1}(C)$ は $X$ で閉集合であり、$h$ は連続関数だ。

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続き

パス $p,q : [0,1] \to X$ が $p(1) = q(0)$ を満たすとする。すると、$p*q : [0,1]$ を以下の通りに定義し、積パス^{product Path}という。 $$(p \ast\ q) (t) = \begin{cases} p(2t), & 0 \le t \le 1/2 \\ q(2t-1), & 1/2 \le t \le 1 \end{cases}$$

積パスは、貼り合わせ補題が正確に一点で適用された概念と見なすことができ、経路連結性に関する研究に有用に使われる。

ホモトピー

このようにパスをつなげることは、代数的位相幾何学^{algebraic Topology}でのホモトピーに関する研究へと繋がり、貼り合わせ補題自体も何度も見かけることになる。