📂抽象代数

偶数でありながら奇数でもある順列は存在しないことの証明

定義

有限対称群の置換が偶数個の転位の積で表せる場合を偶^evenと呼び、奇数個の転位の積で表せる場合を奇^oddと呼ぶ。

置換の符号 $\sgn (\sigma)$を次のように定義する。

$$ \sgn (\sigma) = \begin{cases} +1 & \text{if $\sigma$ is even} \\ -1 & \text{if $\sigma$ is odd} \end{cases} $$

説明

偶と奇の定義自体は非常に自然であるが、定義だけでは偶か奇のどちらかでなければならない排他性があるとは言えない。次の定理を通して確認しよう。

定理 ¹

偶でありかつ奇である置換は存在しない。

証明

有限対称群 $S_{n}$ の転位 $\tau : = ( i , j )$ と置換 $\sigma$ を考えてみよう。

有限対称群のすべての置換は、互いに素な循環の合成で表すことができる。

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Case 1. $i$ と $j$ が $\sigma$ の互いに異なる2つの軌道の元である場合

$i$ と $j$ は同じ軌道の元ではないので、ある $r, m \in \mathbb{Z}$ に対して互いに素な2つの循環の積 $\sigma = (i , i_{1} , \cdots , i_{m}) (j , j_{1} , \cdots , j_{r})$ として表せる。すると、転位の性質により $$ \begin{align*} \tau \sigma =& (i , j) \sigma \\ =& (i , j) (i , i_{1} , \cdots , i_{m}) (j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j ) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& ( j , i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} , i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \end{align*} $$ それゆえ、$\tau \sigma$ は $i$ と $j$ が同じ軌道の元に属し、$\sigma$ と $\tau \sigma$ の軌道の数は $1$ だけ差がある。

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Case 2. $i$ と $j$ が $\sigma$ の1つの軌道の元である場合

$i$ と $j$ は同じ軌道の元であるので、ある $r, m \in \mathbb{Z}$ に対して $\sigma = ( i , i_{1} , \cdots , i_{m}, j , j_{1} , \cdots , j_{r} )$ として表せる。すると転位の性質により $$ \begin{align*} \tau \sigma =& (i , j) \sigma \\ =& (i , j) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r-1}) \\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) \left( i , j_{r-1} \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r-2}) \\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) \cdots \left( i , j_{1} \right) \left( i , j \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& (i , j) (i , j , j_{1} , \cdots , j_{r}) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& (i , j) (j , j_{1} , \cdots , j_{r} , i) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& (i , j) (j , i) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} ) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} ) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \end{align*} $$ である。それゆえ、$\tau \sigma$ は $i$ と $j$ が異なる軌道の元に属し、$\sigma$ と $\tau \sigma$ の軌道の数は $1$ だけ差がある。

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これにより、$\sigma$ と $\tau \sigma = (i , j ) \sigma$ の軌道の数の差は $i$ と $j$ が何であれ関係なく $1$ であることを確認した。つまり、どの置換であれ転位が1回かけられるたびに軌道の数が $1$ ずつ増えるということである。

一方、恒等写像、つまり $\iota = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{bmatrix}$ 의 궤도의 갯수는 $n$ である。

補助定理: 元が2つ以上ある有限対称群のすべての置換は転位の積で表せる。

任意の置換 $\sigma$ を転位 $\tau_{k}$ で表すと $\sigma = \tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{N} \iota$ であり、軌道の数は $(N + n)$ である。自然数 $(N+n)$ は偶数でありかつ奇数であることはできないため、置換 $\sigma$ もまた偶でありかつ奇であることはできない。

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リニューアル

• 23年9月4日、柳大植、Case 2 展開の修正および補強