📂位相幾何学

接続空間のさまざまな同値条件

定義 ¹

位相空間 $X$ に対して部分集合 $A \subset X$ が $$A \ne \emptyset \\ A \ne X$$ ならば $A$ を $X$ の真部分集合^{proper Subset}という。二つの真部分集合 $A,B \subset X$ に対して $$\overline{A} \cap B = \emptyset \\ A \cap \overline{B} = \emptyset$$ ならば $A$ と $B$ を分離集合^{separated set}、あるいは単に分離^separationという。

連結空間の同値条件

上の定義を含めて、連結空間の様々な同値条件が見つかる。まず非連結空間から見ていこう。

非連結空間

以下の命題は互いに同値である。

• (1): $X$ は非連結空間である。
• (2): $X$ はいくつかの分離集合の和集合である。
• (3): 離散空間 $\left\{ a, b \right\}$ に対して全射な連続関数 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ が存在する。
• (4): 開かつ閉な真部分集合が存在する。
• (5): $\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \emptyset$ を満たす真部分集合 $A$ が存在する。

連結空間

以下の命題は互いに同値である。

• (1)’: $X$ は連結空間である。
• (2)’: $X$ はどのような分離集合の和集合にもなりえない。
• (3)’: 離散空間 $\left\{ a, b \right\}$ に対する全射な連続関数 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ が存在しない。
• (4)’: 開かつ閉な真部分集合が存在しない。
• (5)’: $\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \emptyset$ を満たす真部分集合 $A$ が存在しない。

見ての通り、全て非連結空間の性質の否定として表される。