接続空間のさまざまな同値条件
定義 1
位相空間 $X$ に対して部分集合 $A \subset X$ が $$ A \ne \emptyset \\ A \ne X $$ ならば $A$ を $X$ の真部分集合proper Subsetという。二つの真部分集合 $A,B \subset X$ に対して $$ \overline{A} \cap B = \emptyset \\ A \cap \overline{B} = \emptyset $$ ならば $A$ と $B$ を分離集合separated set、あるいは単に分離separationという。
連結空間の同値条件
上の定義を含めて、連結空間の様々な同値条件が見つかる。まず非連結空間から見ていこう。
非連結空間
以下の命題は互いに同値である。
- (1): $X$ は非連結空間である。
- (2): $X$ はいくつかの分離集合の和集合である。
- (3): 離散空間 $\left\{ a, b \right\}$ に対して全射な連続関数 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ が存在する。
- (4): 開かつ閉な真部分集合が存在する。
- (5): $\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \emptyset$ を満たす真部分集合 $A$ が存在する。
連結空間
以下の命題は互いに同値である。
- (1)’: $X$ は連結空間である。
- (2)’: $X$ はどのような分離集合の和集合にもなりえない。
- (3)’: 離散空間 $\left\{ a, b \right\}$ に対する全射な連続関数 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ が存在しない。
- (4)’: 開かつ閉な真部分集合が存在しない。
- (5)’: $\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \emptyset$ を満たす真部分集合 $A$ が存在しない。
見ての通り、全て非連結空間の性質の否定として表される。
Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p148. ↩︎