📂位相幾何学

連結空間のさまざまな同値条件

定義 ¹

位相空間 $X$に対して部分集合 $A \subset X$ が $$ A \ne \emptyset \\ A \ne X $$ ならば $A$ を $X$の真部分集合^{proper Subset}という。二つの真部分集合 $A,B \subset X$ に対して $$ \overline{A} \cap B = \emptyset \\ A \cap \overline{B} = \emptyset $$ ならば $A$ と $B$ を分離集合^{separated set}、あるいは単に分離^separationと呼ぶ。

連結空間の同値条件

上の定義を含めて連結空間のさまざまな同値条件を見つけることができる。まずは連結空間でそうしたのと同じように非連結空間から調べてみよう。

非連結空間

次の命題たちは互いに同値である。

• (1): $X$が非連結空間である。
• (2): $X$がある分離集合の合併である。
• (3): 離散空間 $\left\{ a, b \right\}$ に対して全射である連続関数 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ が存在する。
• (4): 開いていて閉じている真部分集合が存在する。
• (5): $\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \emptyset$ を満たす真部分集合 $A$ が存在する。

連結空間

次の命題たちは互いに同値である。

• (1)’: $X$が連結空間である。
• (2)’: $X$はある分離集合の合併にはなり得ない。
• (3)’: 離散空間 $\left\{ a, b \right\}$ に対して全射である連続関数 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ が存在しない。
• (4)’: 開いていて閉じている真部分集合が存在しない。
• (5)’: $\overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \emptyset$ を満たす真部分集合 $A$ が存在しない。

見ての通り、すべて非連結空間の否定として表すことができる。