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ベータ関数の三角関数表示 📂関数

ベータ関数の三角関数表示

定理

B(p,q)=20π2(sinθ)2p1(cosθ)2q1dθ B(p,q) = 2 \int_{0}^{{\pi} \over {2}} \left( \sin \theta \right) ^{2p-1} \left( \cos \theta \right) ^{2q-1} d \theta

説明

それがどんな種類の数学でも、ある関数を別の方法で表現できることは良いことだ。

証明

B(p,q)=01tp1(1t)q1dt\displaystyle B(p,q) = \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dtからt=sin2θt = \sin^2 \thetaに置き換えると、 B(p,q)=0π2(sin2θ)p1(1sin2θ)q12sinθcosθdθ B(p,q) = \int_{0}^{{\pi} \over {2}} \left( \sin^2 \theta \right)^{p-1} \left( 1 - \sin^2 \theta \right) ^{q-1} 2 \sin \theta \cos \theta d \theta 1sin2θ=cos2θ1 - \sin^2 \theta = \cos ^2 \theta であるから、 B(p,q)=20π2(sinθ)2p1(cosθ)2q1dθ B(p,q) = 2 \int_{0}^{{\pi} \over {2}} \left( \sin \theta \right)^{2p-1} \left( \cos \theta \right) ^{2q-1} d \theta

特にsinθ=t\sin \theta = tにもう一度置き換えると、ルジャンドルの重複公式を導くための補題を得る。 B(p,q)=201t2p1(1t2)q1dt B(p,q) = 2 \int_{0}^{1} t^{2p-1} \left( 1 - t^2 \right)^{q-1} dt

参照