ベータ関数の三角関数表示
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定理
B(p,q)=2∫02π(sinθ)2p−1(cosθ)2q−1dθ
説明
それがどんな種類の数学でも、ある関数を別の方法で表現できることは良いことだ。
証明
B(p,q)=∫01tp−1(1−t)q−1dtからt=sin2θに置き換えると、
B(p,q)=∫02π(sin2θ)p−1(1−sin2θ)q−12sinθcosθdθ
1−sin2θ=cos2θ であるから、
B(p,q)=2∫02π(sinθ)2p−1(cosθ)2q−1dθ
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系
特にsinθ=tにもう一度置き換えると、ルジャンドルの重複公式を導くための補題を得る。
B(p,q)=2∫01t2p−1(1−t2)q−1dt
参照