📂位相幾何学

位相数学における連結性

定義 ¹

位相空間$X$で、$A \cap B = \emptyset$と$A \cup B = X$を満たす開集合$A \ne \emptyset$、$B \ne \emptyset$が存在する場合、$X$を非連結^disconnected空間という。非連結でない場合を連結^connected空間という。

定理

説明

非連結であることの定義はかなり直感的で、その否定、つまり連結もまた容易に受け入れられるだろう。グラフ理論でも同様に連結を定義する。

例えば、ユークリッド空間$( \mathbb{R} , d )$を考えると、どのような開区間を考えても非連結の条件を満たさないため、連結空間である。一方、その部分空間$( \mathbb{Q}, d )$を考えると、$( \mathbb{Q} , d ) = ( \mathbb{Q} , \mathscr{P} ( \mathbb{Q} ) )$が離散空間であるため、簡単に非連結空間であることが示せる。

証明

1

位相同型写像$f : X \to Y$が存在し、$X$が連結空間であるとする。$Y$が連結空間であることを示せば証明は完了である。

$Y$が非連結空間であると仮定すると、 $$A \cap B = \emptyset \\ A \cup B = Y$$ を満たす開集合$A, B \subset Y$が存在する。

$f$が連続関数ならば、すべての開集合$V \subset Y$に対して、$f^{-1} (V)$が$X$で開集合である。

$Y$は連続関数なので、$f^{-1} (A)$と$f^{-1} (B)$は$X$で開集合である。しかし、 $$f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cap B) = f^{-1} ( \emptyset ) = \emptyset \\ f^{-1} (A) \cup f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cup B) = f^{-1} ( Y ) = X$$ これは、$X$が非連結空間であるという前提と矛盾する。

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2

自明空間$X$の位相$\mathscr{T} = \left\{ \emptyset , X \right\}$では、空でない2つの開集合が存在しないため、$X$は連結空間である。

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3

$X$の元が1つだけの場合、離散空間より自明空間であるが、$X$が2つ以上の元を持つと仮定しなければならない。離散空間$X$で、空でないすべての開集合$U$について$V = X \setminus U$が$X$で開集合であるため、非連結空間である。

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4

$A , B \subset \left\{ x \right\}$が$A \cap B = \emptyset$を満たすためには、$A$または$B$が必ず空でなければならず、非連結空間にはなり得ない。

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