空間であることと、すべての有限部分集合が閉じていることは同値である
定理
$X$が$T_{1}$-空間であるための必要十分条件は、$X$の全ての単一要素集合$\left\{ x \right\}$が$X$内で閉集合であることである。
証明
$(\Rightarrow)$
$T_{1}$-空間$X$について$x \in X$、$x' \in X \setminus \left\{ x \right\}$とすると$x \ne x '$である。$X$は$T_{1}$-空間なので、$x' \in U_{x’}$であり、かつ$x \notin U_{x’}$な開集合$U_{x’} \subset X$が存在する。まとめると $$ x' \in U_{x’} \subset X \setminus \left\{ x \right\} $$ であり、 $$ X \setminus \left\{ x \right\} = \bigcup_{x’ \in X \setminus \left\{ x \right\} } U_{x’} $$ は開集合である。したがって、単一要素集合$\left\{ x \right\}$は$X$内で閉集合である。
$(\Leftarrow)$
$X$の全ての単一要素集合は$X$内で閉集合であるので、$x_{1} \ne x_{2}$に対して$\left\{ x_{1} \right\}$、$\left\{ x_{2} \right\}$は$X$内で閉集合である。それにより $$ U_{1} := X \setminus \left\{ x_{1} \right\} \\ U_{2} := X \setminus \left\{ x_{2} \right\} $$ は$X$内で開集合である。一方 $$ x_{2} \in U_{1} x_{1} \in U_{2} $$ であるため、$X$は$T_{1}$-空間である。
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説明
閉集合の和集合はやはり閉集合であるため、全ての有限部分集合が閉じていることは同等であるとも言える。