T1空間であることと、すべての有限部分集合が閉じていることは同値である
定理
$X$が$T_{1}$空間であることの必要十分条件は、$X$のすべての一元集合$\left\{ x \right\}$が$X$において閉集合であることである。
証明
$(\Rightarrow)$
$T_{1}$空間$X$に対して$x \in X$、$x' \in X \setminus \left\{ x \right\}$とおくと$x \ne x '$である。$X$は$T_{1}$空間なので、$x' \in U_{x’}$かつ$x \notin U_{x’}$である開集合$U_{x’} \subset X$が存在する。まとめると $$ x' \in U_{x’} \subset X \setminus \left\{ x \right\} $$ であり、 $$ X \setminus \left\{ x \right\} = \bigcup_{x’ \in X \setminus \left\{ x \right\} } U_{x’} $$ は開集合である。したがって一元集合$\left\{ x \right\}$は$X$において閉集合である。
$(\Leftarrow)$
$X$のすべての一元集合は$X$において閉集合なので、$x_{1} \ne x_{2}$に対して$\left\{ x_{1} \right\}$、$\left\{ x_{2} \right\}$は$X$において閉集合である。すると $$ U_{1} := X \setminus \left\{ x_{1} \right\} \\ U_{2} := X \setminus \left\{ x_{2} \right\} $$ は$X$において開集合である。一方 $$ x_{2} \in U_{1} x_{1} \in U_{2} $$ なので$X$は$T_{1}$空間である。
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説明
閉集合の和集合は依然として閉集合なので、すべての有限部分集合が閉じていることと同値であると言ってもよい。