📂抽象代数

In Japanese: 抽象代数学における様々な写像

定義

群 $\left< G , \ast\ \right> , \left< G' , *' \right>$ を $\phi : G \to G'$ としよう。

1. $\forall x ,y \in G$、$\phi (x \ast\ y) = \phi (x ) *' \phi ( y)$ のとき、$\phi$ を準同型写像^homomorphismという。
2. 準同型写像 $\phi$ が単射の場合、$\phi$ を単射写像^monomorphismといい、$G \hookrightarrow G'$ と表す。
3. 準同型写像 $\phi$ が全射の場合、$\phi$ を全射写像^epimorphismといい、$G \twoheadrightarrow G'$ と表す。
4. 準同型写像 $\phi$ が全単射の場合、$\phi$ を同型写像^isomorphismといい、$G \simeq G'$ と表す。
5. 準同型写像 $\phi$ において $G = G'$ の場合、$\phi$ を準自己同型写像^endomorphismという。
6. 同型写像 $\phi$ において $G = G'$ の場合、$\phi$ を自己同型写像^automorphismという。

説明

急に出てくる定義に頭が痛くなるかもしれないけど、すぐに慣れるから難しく考えないで堂々と対面しよう。

単射写像と全射写像は任意に翻訳されたもので、日本の数学界では単にモノ射かエピ射と使用されている。抽象代数学以外では、これらがそれぞれ単射と全射そのものとして使われるが、抽象代数学では通常、準同型写像が含まれる。

同型写像はその性質が直ちに有益であるが、それが求められる条件が難点である。そのような条件を減らすことができれば、つまり単射写像や全射写像だけで十分であれば、より良いだろう。