📂位相幾何学

位相空間におけるホモトピー

定義 ¹

二つの位相空間 $X,Y$について、全単射 $f : X \to Y$が存在し、$f$とその逆関数 $f^{-1}$が共に連続関数ならば、$f$を位相同型写像^{homeomorphism}と呼び、二つの位相空間は位相同型^homeomorphicであるという。

定理

以下の命題は互いに等価だ。

• (1): $f : X \to Y$は位相同型写像だ。
• (2): $f^{-1} : Y \to X$は位相同型写像だ。
• (3): $f : X \to Y$は閉関数でありながら連続の全単射だ。
• (4): $f : X \to Y$は開関数でありながら連続の全単射だ。

説明

距離空間で定義されたものと同様に、位相同型の概念も簡単に拡張できる。連続関数を学ぶ理由そのものと見ても良い。

特に(3)、そして特に(4)が良い理由は、逆関数に対するチェックが不要なためだ。開関数と閉関数の性質から簡単に推論されて、逆関数が連続でなければならない条件を代わりに満たしてくれる。

特に、$f,f^{-1}$が微分可能ならば、微分同型写像^{diffeomorphism, ディフィオモルフィズム}と呼ぶ。

参照

• グラフ理論における位相同型