📂位相幾何学

位相空間における位相同型とは

定義 ¹

二つの位相空間$X,Y$について、全単射$f : X \to Y$が存在し、$f$とその逆関数$f^{-1}$がともに連続関数ならば、$f$を位相同型写像^{homeomorphism}と呼び、二つの位相空間が位相同型^homeomorphicであるという。

定理

次の命題は互いに同値である。

• (1): $f : X \to Y$が位相同型写像である。
• (2): $f^{-1} : Y \to X$が位相同型写像である。
• (3): $f : X \to Y$が閉写像でありながら連続な全単射である。
• (4): $f : X \to Y$が開写像でありながら連続な全単射である。

説明

距離空間で定義したものと同様に、位相同型の概念も簡単に拡張できる。連続関数を学ぶ理由そのものと見なしてよい。

(3)と(4)が、特に(4)が良い理由は、逆関数に対するチェックが不要だからである。開写像と閉写像の性質から容易に演繹されて、逆関数が連続でなければならないという条件を代わりに満たしてくれる。

特に$f,f^{-1}$が微分可能であれば微分同型写像^{diffeomorphism}と呼ぶ。

関連リンク

• グラフ理論における位相同型