📂位相幾何学

位相数学における連続とは

定義

日本語

位相空間 $(X, \mathscr{T}_{X} )$ と $(Y, \mathscr{T}_{Y} )$ に対して、$f: X \to Y$ としよう。$f(a)$ を含む全ての $V \in \mathscr{T}_{Y}$ に対して、$f(U) \subset V$ を満たしながら $a$ を含む $U \in \mathscr{T}_{X}$ が存在する場合、$f$ を $a$ で 連続^continuousという。$f$ が $X$ の全ての点で連続であれば 連続関数といい、$f \in C(X,Y)$ で表せる。

英語

$f$ is continuous at $a$ $\iff$ For all neighborhood $V \in \mathscr{T}_{Y}$ of $f(a)$, there exists a neighborhood $U \in \mathscr{T}_{X}$ of $a$ such that $a \in U \implies f(a) \in f(U) \subset V$

説明

この定義を初めて見ると、何を意味しているのか理解するのが難しいかもしれないが、よく考えてみると、解析学での連続を定義する時に、$\epsilon > 0$ が与えられるたびに $\left| x - a \right| \lt \delta \implies \left| f(x) - f(a) \right| \lt \epsilon$ の $\delta$ が存在することを話しているのと全く同じ感覚だと分かる。$\left\{ x : \left| x - a \right| \lt \delta \right\}$ と $\left\{ f(x) : \left| f(x) - f(a) \right| \lt \epsilon \right\}$ がオープンセットであることに注目すれば、$\epsilon$ が与えられるたびに $\delta$ を見つけられるということは、$Y$ でオープンセットが与えられるたびに、$X$ で条件を満たすオープンセットを見つけられるということと同じであると理解できるだろう。

ちなみに、$C(X,Y)$ は定義域が $X$ で値域が $Y$ の連続関数の集合である。位相数学を学ぶくらいなら、通常はイプシロン-デルタ論法を見飽きるほど見ているだろうから、文章よりも数式や記号の方が扱いやすいはずだ。

連続性はユークリッド空間を超えて距離空間へ、そして今や距離空間を超えて位相空間へと一般化された。解析学で連続を議論する理由が微分のためであるならば、位相数学では位相同型を議論するために連続の概念が必要である。

以下は連続点と連続関数に関するいくつかの有用な同値条件である。同値条件であるため、教科書によってはこれらの同値条件を定義として設定することもある。

連続点の同値条件

$a \in X$ とすると、以下の命題は互いに同値である。

• (1): $f : X \to Y$ は $a$ で連続である。
• (2): $f(a)$ を含む全ての $V \in \mathscr{T}_{Y}$ に対して、$a \in U \subset f^{-1} (V)$ を満たす $U \in \mathscr{T}_{X}$ が存在する。
• (3): 全ての $\mathcal{N} ( f(a) )$ に対して、$f^{-1} ( \mathcal{N} ( f(a) ) )$ は $a$ の近傍である。
• (4): $f(a) \in V^{\circ}$ を満たす全ての $V \subset Y$ に対して、$a \in (f^{-1} (V))^{\circ}$

ちなみに、$\mathcal{N} (a)$ は $a$ を含む $X$ の開集合であり、$a$ の近傍^neighborhoodと呼ばれる。

連続関数の同値条件

以下の命題は互いに同値である。

• [1]: $f : X \to Y$ は連続関数である。
• [2]: $f(a)$ を含む全ての $V \in \mathscr{T}_{Y}$ と全ての点 $a \in f^{-1} (V)$ に対して、$a \in U_{a} \subset f^{-1} (V)$ を満たす $U_{a} \in \mathscr{T}_{X}$ が存在する。
• [3]: 全ての開集合 $V \subset Y$ に対して、$f^{-1} (V)$ が $X$ で開集合である¹。
• [4]: 全ての閉集合 $C \subset Y$ に対して、$f^{-1} (C)$ が $X$ で閉集合である。
• [5]: 全ての $A \subset X$ に対して、$f( \overline{A} ) \subset \overline{ f(A) }$
• [6]: 全ての $B \in \mathscr{B}$ に対して $f^{-1} (B) \in \mathscr{T}_{X}$ を満たす $\mathscr{T}_{Y}$ の基底 $\mathscr{B}$ が存在する。
• [7]: 全ての $S \in \mathscr{S}$ に対して $f^{-1} (S) \in \mathscr{T}_{X}$ を満たす $\mathscr{T}_{Y}$ の部分基底 $\mathscr{S}$ が存在する。
• [8] 連続関数の合成関数: $f : X \to Y$ と

$g : Y \to Z$ が連続関数であれば、合成関数 $g \circ f : X \to Z$ も連続である。

連続関数の別の定義

特に ‘定理 [3]: 全ての開集合 $V \subset Y$ に対して、$f^{-1} (V)$ が $X$ で開集合である’は非常に頻繁に使用され、[3]をもって連続関数を定義する場合も多い。上で挙げた全ての条件を覚える必要はないが、[3]だけは必ず覚えて、いつでも取り出せるようにしておこう。