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共振とは何か? 📂集合論

共振とは何か?

定理

任意の命題 pp、矛盾 cc、そして Aα⊂XA_{\alpha} \subset X について、以下が成立します。

  • [1] 空虚真理: c  ⟹  pc \implies p
  • [2] 和集合: ⋃α∈∅Aα=∅\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = \emptyset
  • [3] 共通集合: ⋂α∈∅Aα=X\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = X

説明

例えば、「神は死んだ」という言葉で、神が存在しない場合、前提から間違っているとどうなるでしょうか？神が存在しない場合、00 の神が死んだことを意味し、誰が本当に死んだか生きているかを問うことなく真となります。同様に、「神は生きている」という言葉も神が存在しない場合、00 の存在を確認することであるため、必ず真となります。

このように、前提が矛盾する場合、主張が何であれ関係なく真となります。これを空虚真理や時には恒真と呼びます。もちろん、他にも恒真命題はありますが、中でも c  ⟹  pc \implies p が最も受け入れがたいものです。集合が与えられたとき、その部分集合を 00 個 和集合を取るか 共通集合を取ると考えれば、少しは受け入れやすくなるでしょう。∑n=00n=0\displaystyle \sum_{n=0}^{0} n = 0 を考えれば、もう少し理解しやすくなるはずです。

証明

空虚真理

pp が真の場合も偽の場合も、c→pc \to p が真であることを示せばいいです。x→y≡¬(x∧¬y)x \to y \equiv \lnot ( x \land \lnot y ) なので c→p≡¬(c∧¬p) c \to p \equiv \lnot ( c \land \lnot p ) pp が真であろうと偽であろうと、cc との論理積の結果は偽になるため、 ¬(c∧¬p)≡¬c \lnot ( c \land \lnot p ) \equiv \lnot c 矛盾 cc の否定は常に真であるので、c→pc \to p は pp に関係なく真です。

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和集合

全ての x∈Xx \in X について x∉⋃α∈∅Aα\displaystyle x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} が成立することを示せばいいです。 x∉⋃α∈∅Aα  ⟺  ¬(x∈⋃α∈∅Aα)  ⟺  ¬(x∈Aα0 for some α0∈∅)  ⟺  x∉Aα for all α∈∅  ⟺  α∈∅→x∉Aα \begin{align*} x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \iff & \lnot \left( x \in \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \right) \\ \iff & \lnot ( x \in A_{\alpha_{0}} \text{ for some } \alpha_{0} \in \emptyset ) \\ \iff &x \notin A_{\alpha} \text{ for all } \alpha \in \emptyset \\ \iff & \alpha \in \emptyset \to x \notin A_{\alpha} \end{align*} 集合 ∅\emptyset が元を持つということは、空集合の定義に矛盾するので、α∈∅\alpha \in \emptyset は偽です。[1] 空虚真理によって α∈∅→x∉Aα\alpha \in \emptyset \to x \notin A_{\alpha} は真で、同値な x∉⋃α∈∅Aα\displaystyle x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} も真です。

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共通集合

全ての x∈Xx \in X について x∈⋂α∈∅Aα\displaystyle x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} が成立することを示せばいいです。 x∈⋂α∈∅Aα  ⟺  x∈Aα for all α∈∅  ⟺  α∈∅→x∈Aα \begin{align*} x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \iff & x \in A_{\alpha} \text{ for all } \alpha \in \emptyset \\ \iff &\alpha \in \emptyset \to x \in A_{\alpha} \end{align*} これも同様に、集合 ∅\emptyset が元を持つということは、空集合の定義に矛盾するので、α∈∅\alpha \in \emptyset は偽です。[1] 空虚真理によって α∈∅→x∈Aα\alpha \in \emptyset \to x \in A_{\alpha} は真で、同値な x∈⋂α∈∅Aα\displaystyle x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} も真です。

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