空虚真理とは?
定理
任意の命題 $p$、矛盾 $c$、そして $A_{\alpha} \subset X$ について、以下が成立する。
- [1] 空虚真理: $c \implies p$
- [2] 和集合: $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = \emptyset$
- [3] 共通集合: $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = X$
説明
例えば「神は死んだ。」という言葉で、神が存在しないなら、前提から間違っているとしたらどうなるのだろうか。神が存在しないなら $0$ 人の神が死んだことになるので、誰が本当に死んだか生きているかを問うまでもなく真となる。一方で「神は生きている。」という言葉も、神が存在しないなら $0$ 人を確認することになるので、必ず真である。
このように前提が矛盾であれば、主張が何であろうと関係なく真となることを空虚真理vacuous Truthあるいは恒真という。もちろんその形以外にも恒真命題はあるが、その中で最も受け入れがたいのが $c \implies p$ である。上の例と同様に、集合が与えられたとき、その部分集合を $0$ 個だけ和集合を取ったり共通集合を取ったりできる。$\displaystyle \sum_{n=0}^{0} n = 0$ であることを考えてみれば、少しは受け入れやすくなるだろう。
証明
空虚真理
$p$ が真のときと偽のとき、どちらでも $c \to p$ が真であることを示せばよい。$x \to y \equiv \lnot ( x \land \lnot y )$ なので $$ c \to p \equiv \lnot ( c \land \lnot p ) $$ $p$ が真であろうと偽であろうと、$c$ との論理積を取った結果は偽なので、 $$ \lnot ( c \land \lnot p ) \equiv \lnot c $$ 矛盾 $c$ の否定は常に真なので、$c \to p$ は $p$ に関係なく真である。
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和集合
全ての $x \in X$ について $\displaystyle x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha}$ であることを示せばよい。 $$ \begin{align*} x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \iff & \lnot \left( x \in \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \right) \\ \iff & \lnot ( x \in A_{\alpha_{0}} \text{ for some } \alpha_{0} \in \emptyset ) \\ \iff &x \notin A_{\alpha} \text{ for all } \alpha \in \emptyset \\ \iff & \alpha \in \emptyset \to x \notin A_{\alpha} \end{align*} $$ 集合 $\emptyset$ が元を持つということは空集合の定義に矛盾するので、$\alpha \in \emptyset$ は偽である。[1] 空虚真理によって $\alpha \in \emptyset \to x \notin A_{\alpha}$ は真であり、それと同値な $\displaystyle x \notin \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha}$ も真である。
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共通集合
全ての $x \in X$ について $\displaystyle x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha}$ であることを示せばよい。 $$ \begin{align*} x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} \iff & x \in A_{\alpha} \text{ for all } \alpha \in \emptyset \\ \iff &\alpha \in \emptyset \to x \in A_{\alpha} \end{align*} $$ これも同様に、集合 $\emptyset$ が元を持つということは空集合の定義に矛盾するので、$\alpha \in \emptyset$ は偽である。[1] 空虚真理によって $\alpha \in \emptyset \to x \in A_{\alpha}$ は真であり、それと同値な $\displaystyle x \in \bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} $ も真である。
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