オイラーの証明：シンク関数を使用して平方数の逆数の合計を求める
定理
$$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$
証明
戦略: これはオイラーによって残された証明で、シンク関数のオイラー表示を使って証明する。このアイディアは非常に新鮮で面白く、一度見たら忘れる方が難しい。
シンク関数のオイラー表示: $$ {{\sin x} \over {x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right) $$
オイラー表示の右辺を展開すると以下のようになる。 $$ \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right) = \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 }} \right) \left( 1 - {{x^2} \over { 4 \pi^2 }} \right) \left( 1 - {{x^2} \over { 9 \pi^2 }} \right) \cdots $$ 一方でサイン関数のマクローリン展開を考えると、シンク関数は以下のように表せる。 $$ {{\sin x} \over {x}} = {{1} \over {x}} \left( x - {{x^{3}} \over {3!}} + {{x^{5}} \over {5!}} - {{x^{7}} \over {7!}} + \cdots \right) $$ 両辺が等しいということは、各項の係数が同じであるということで、$x^{2}$の係数を比較すると以下のようになる。 $$ - {{1} \over {3!}} = - {{1} \over {\pi^2 }} - {{1} \over { 4 \pi^2 }} - {{1} \over { 9 \pi^2 }} - \cdots $$ 両辺に$- \pi^2$を掛けると $$ {{\pi^2} \over {6}} = {{1} \over { 1 }} + {{1} \over { 4 }} + {{1} \over { 9 }} + \cdots $$ 整理すると $$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$
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