オイラーの証明:シンク関数を使用して平方数の逆数の合計を求める
📂関数オイラーの証明:シンク関数を使用して平方数の逆数の合計を求める
定理
n=1∑∞n21=6π2
証明
戦略: これはオイラーによって残された証明で、シンク関数のオイラー表示を使って証明する。このアイディアは非常に新鮮で面白く、一度見たら忘れる方が難しい。
シンク関数のオイラー表示:
xsinx=n=1∏∞(1−π2n2x2)
オイラー表示の右辺を展開すると以下のようになる。
n=1∏∞(1−π2n2x2)=(1−π2x2)(1−4π2x2)(1−9π2x2)⋯
一方でサイン関数のマクローリン展開を考えると、シンク関数は以下のように表せる。
xsinx=x1(x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯)
両辺が等しいということは、各項の係数が同じであるということで、x2の係数を比較すると以下のようになる。
−3!1=−π21−4π21−9π21−⋯
両辺に−π2を掛けると
6π2=11+41+91+⋯
整理すると
n=1∑∞n21=6π2
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関連項目