残余定理を用いた全ての整数に対する級数の和の公式
📂複素解析 残余定理を用いた全ての整数に対する級数の和の公式 式 多項式関数 の比、即ち有理関数 の f f f n ∈ Z n \in \mathbb{Z} n ∈ Z f ( n ) ≠ 0 f(n) \ne 0 f ( n ) = 0 lim z → ∞ z f ( z ) = 0 \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0 lim z → ∞ z f ( z ) = 0 f f f 特異点 z 1 , ⋯ , z m z_{1}, \cdots , z_{m} z 1 , ⋯ , z m ∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) = − ∑ n = 1 m Res z n ( π f ( z ) cot π z )
\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)
n = − ∞ ∑ ∞ f ( n ) = − n = 1 ∑ m Res z n ( π f ( z ) cot π z )
説明 単に自然数だけをすべて足すのではなく、すべての整数に対する和を有限な合計で表示することに意味がある。もちろん、提供された f f f コタンジェント はもちろん π \pi π
導出 第1部 . cos π z \cos \pi z cos π z
自然数 k ∈ N k \in \mathbb{N} k ∈ N C k \mathscr{C}_{k} C k 有理関数 f f f k 0 k_{0} k 0 k > k 0 k>k_{0} k > k 0 C k \mathscr{C}_{k} C k 連続 であり lim z → ∞ z f ( z ) = 0 \displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0 z → ∞ lim z f ( z ) = 0
各 C k \mathscr{C}_{k} C k ∣ z ∣ ≥ k + 1 2 > k \displaystyle |z| \ge k + {{1 } \over {2}} > k ∣ z ∣ ≥ k + 2 1 > k ε > 0 \varepsilon> 0 ε > 0 1 ∣ z ∣ < δ ⟹ ∣ z f ( z ) ∣ < ε
{{1} \over {|z|} } < \delta \implies |z f(z) | < \varepsilon
∣ z ∣ 1 < δ ⟹ ∣ z f ( z ) ∣ < ε δ > 0 \delta > 0 δ > 0 k > 1 δ \displaystyle k > {{1} \over {\delta}} k > δ 1 C k \mathscr{C}_{k} C k ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 ∣ f ( z ) ∣ < ε k + 1 / 2 \displaystyle |f(z)| < {{\varepsilon} \over {k + 1/2}} ∣ f ( z ) ∣ < k + 1/2 ε k k k
三角関数の加法定理 :
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β
\sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta
\\
\sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta
\\
\cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta
\\
\cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta
\\
\tan\left( \alpha +\beta \right) =\frac { \tan\alpha +\tan\beta }{ 1-\tan\alpha \tan\beta }
\\
\tan\left( \alpha -\beta \right) =\frac { \tan\alpha -\tan\beta }{ 1+\tan\alpha \tan\beta }
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan ( α + β ) = 1 − tan α tan β tan α + tan β tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β 三角関数と双曲関数の関係 :
sinh ( i z ) = i sin z sin ( i z ) = i sinh z cosh ( i z ) = cos z cos ( i z ) = cosh z
\begin{align*}
\sinh (iz) =& i \sin z
\\ \sin (iz) =& i \sinh z
\\ \cosh (iz) =& \cos z
\\ \cos (iz) =& \cosh z
\end{align*}
sinh ( i z ) = sin ( i z ) = cosh ( i z ) = cos ( i z ) = i sin z i sinh z cos z cosh z 三角関数と指数関数の関係 :
sin z = e i z − e − i z 2 i cos z = e i z + e − i z 2
\sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i }
\\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 }
sin z = 2 i e i z − e − i z cos z = 2 e i z + e − i z 便宜上、α : = k + 1 / 2 \alpha := k + 1/2 α := k + 1/2 cos α π = 0 \cos \alpha \pi = 0 cos α π = 0 sin α π = ( − 1 ) k \sin \alpha \pi = (-1)^{k} sin α π = ( − 1 ) k C k \mathscr{C}_{k} C k ∣ cot π z ∣ |\cot \pi z| ∣ cot π z ∣ C k \mathscr{C}_{k} C k z = ± α + i y z = \pm \alpha + iy z = ± α + i y ∣ y ∣ ≤ α \left| y \right| \le \alpha ∣ y ∣ ≤ α ∣ cot π z ∣ = ∣ cos π z sin π z ∣ = ∣ cos α π cos i π y − sin ± α π sin i π y sin ± α π cos i π y + i cos α π sin i π y ∣ = ∣ cos α π cosh π y ∓ i sin α π sinh π y ± sin α π cosh π y + i cos α π sinh π y ∣ = ∣ 0 + 1 ⋅ sinh π y 1 ⋅ cosh π y + 0 ∣ = ∣ tanh π y ∣ < 1
\begin{align*}
|\cot \pi z| =& \left| {{ \cos \pi z } \over { \sin \pi z }} \right|
\\ =& \left| {{ \cos \alpha \pi \cos i \pi y - \sin \pm \alpha \pi \sin i \pi y } \over { \sin \pm \alpha \pi \cos i \pi y + i \cos \alpha \pi \sin i \pi y }} \right|
\\ =& \left| {{ \cos \alpha \pi \cosh \pi y \mp i \sin \alpha \pi \sinh \pi y } \over { \pm \sin \alpha \pi \cosh \pi y + i \cos \alpha \pi \sinh \pi y }} \right|
\\ =& \left| {{ 0 + 1 \cdot \sinh \pi y} \over { 1 \cdot \cosh \pi y + 0 }} \right|
\\ =& \left| \tanh \pi y \right|
\\ <& 1
\end{align*}
∣ cot π z ∣ = = = = = < sin π z cos π z sin ± α π cos iπ y + i cos α π sin iπ y cos α π cos iπ y − sin ± α π sin iπ y ± sin α π cosh π y + i cos α π sinh π y cos α π cosh π y ∓ i sin α π sinh π y 1 ⋅ cosh π y + 0 0 + 1 ⋅ sinh π y ∣ tanh π y ∣ 1 C k \mathscr{C}_{k} C k z = x ± i α z = x \pm i \alpha z = x ± i α ∣ x ∣ ≤ α \left| x \right| \le \alpha ∣ x ∣ ≤ α 実数の虚数根の大きさは常に 1 1 1 三角不等式により、
∣ e i π x e ∓ α π + e − i π x e ± α π ∣ ≤ ∣ e i π x e ∓ α π ∣ + ∣ e − i π x e ± α π ∣ = e α π + e − α π ∣ e i π x e ∓ α π − e − i π x e ± α π ∣ ≥ ∣ ∣ e i π x e ∓ α π ∣ − ∣ e − i π x e ± α π ∣ ∣ = e α π − e − α π
\begin{align*}
\left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} + e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \le& \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} \right| + \left| e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| = e^{\alpha \pi} + e^{ - \alpha \pi}
\\ \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} - e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \ge& \left| \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} \right| - \left| e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \right| = e^{\alpha \pi} - e^{ - \alpha \pi}
\end{align*}
e iπ x e ∓ α π + e − iπ x e ± α π ≤ e iπ x e ∓ α π − e − iπ x e ± α π ≥ e iπ x e ∓ α π + e − iπ x e ± α π = e α π + e − α π e iπ x e ∓ α π − e − iπ x e ± α π = e α π − e − α π ∣ cot π z ∣ = ∣ cos π z sin π z ∣ = ∣ e i π z + e − i π z e i π z − e − i π z ∣ = ∣ e i π x e ∓ α π + e − i π x e ± α π e i π x e ∓ α π − e − i π x e ± α π ∣ ≤ e α π + e − α π e α π − e − α π = cot α π ≤ max { ± cot 1 2 π , ± cot 3 2 π } ∵ sin α π = ( − 1 ) k ≤ cot 3 2 π < 2
\begin{align*}
|\cot \pi z| = \left| {{ \cos \pi z } \over { \sin \pi z }} \right|
\\ =& \left| {{ e^{i \pi z} + e^{ - i \pi z} } \over { e^{i \pi z} - e^{ -i \pi z} }} \right|
\\ =& \left| {{ e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} + e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} } \over { e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} - e^{ -i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} }} \right|
\\ \le & {{e^{\alpha \pi} + e^{- \alpha \pi}}\over {e^{\alpha \pi} - e^{- \alpha \pi}}}
\\ =& \cot \alpha \pi
\\ \le& \max \left\{ \pm \cot {{1} \over {2}} \pi, \pm \cot {{3} \over {2}} \pi \right\} & \because \sin \alpha \pi = (-1)^{k}
\\ \le& \cot {{3} \over {2}} \pi
\\ <& 2
\end{align*}
∣ cot π z ∣ = sin π z cos π z = = ≤ = ≤ ≤ < e iπ z − e − iπ z e iπ z + e − iπ z e iπ x e ∓ α π − e − iπ x e ± α π e iπ x e ∓ α π + e − iπ x e ± α π e α π − e − α π e α π + e − α π cot α π max { ± cot 2 1 π , ± cot 2 3 π } cot 2 3 π 2 ∵ sin α π = ( − 1 ) k ∣ cot π z ∣ |\cot \pi z| ∣ cot π z ∣ C k \mathscr{C}_{k} C k
第2部. lim k → ∞ ∫ C k f ( z ) cot π z d z = 0 \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0 lim k → ∞ ∫ C k f ( z ) cot π z d z = 0
C k \mathscr{C}_{k} C k 8 ( k + 1 2 )
8 \left( k + {{1 } \over {2}} \right)
8 ( k + 2 1 ) 1 k < δ ⟹ ∣ ∫ C k f ( z ) cot π z d z ∣ ≤ 8 ( k + 1 / 2 ) 2 ε k + 1 / 2 = 16 ε
{{1} \over {k}} < \delta \implies \left| \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz \right| \le {{8 (k + 1/2) 2 \varepsilon } \over { k + 1/2}} = 16 \varepsilon
k 1 < δ ⟹ ∫ C k f ( z ) cot π z d z ≤ k + 1/2 8 ( k + 1/2 ) 2 ε = 16 ε lim k → ∞ ∫ C k f ( z ) cot π z d z = 0
\lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0
k → ∞ lim ∫ C k f ( z ) cot π z d z = 0
第3部. ∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) = − ∑ n = 1 m Res z n ( π f ( z ) cot π z ) \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) ∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) = − ∑ n = 1 m Res z n ( π f ( z ) cot π z )
今、F ( z ) : = π f ( z ) cot π z F(z) := \pi f(z) \cot \pi z F ( z ) := π f ( z ) cot π z f ( n ) ≠ 0 f(n) \ne 0 f ( n ) = 0 n ∈ Z n \in \mathbb{Z} n ∈ Z F F F 単純極 になる。残差を計算すると、
Res n F ( z ) = π f ( z ) cos π z ( sin π z ) ′ = π f ( z ) cos π z π cos π z ∣ z = n = f ( n )
\text{Res}_{n} F(z) = {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { (\sin \pi z)' }} = \left. {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { \pi \cos \pi z }} \right|_{z = n} = f(n)
Res n F ( z ) = ( sin π z ) ′ π f ( z ) cos π z = π cos π z π f ( z ) cos π z z = n = f ( n ) F F F 特異点 z 1 , z 2 , ⋯ , z m z_{1} , z_{2} , \cdots , z_{m} z 1 , z 2 , ⋯ , z m lim k → ∞ ∫ C k F ( z ) d z = lim k → ∞ 2 π i ( ∑ n = − k k f ( n ) + ∑ n = 1 m Res z n F ( z ) ) = 2 π i ( ∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) + ∑ n = 1 m Res z n ( π f ( z ) cot π z ) )
\begin{align*}
\lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} F(z) dz =& \lim_{k \to \infty} 2 \pi i \left( \sum_{n = -k} ^{k} f(n) + \sum_{n = 1} ^{m} \text{Res}_{z_{n}} F(z) \right)
\\ =& 2 \pi i \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) + \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) \right)
\end{align*}
k → ∞ lim ∫ C k F ( z ) d z = = k → ∞ lim 2 πi ( n = − k ∑ k f ( n ) + n = 1 ∑ m Res z n F ( z ) ) 2 πi ( n = − ∞ ∑ ∞ f ( n ) + n = 1 ∑ m Res z n ( π f ( z ) cot π z ) ) lim k → ∞ ∫ C k f ( z ) cot π z d z = 0 \displaystyle \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0 k → ∞ lim ∫ C k f ( z ) cot π z d z = 0 ∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) = − ∑ n = 1 m Res z n ( π f ( z ) cot π z )
\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)
n = − ∞ ∑ ∞ f ( n ) = − n = 1 ∑ m Res z n ( π f ( z ) cot π z )
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交代級数に対する公式 すべての整数に対する交代級数の和の公式 : 有理関数 f f f lim z → ∞ z f ( z ) = 0
\lim_{z \to \infty} z f(z) = 0
z → ∞ lim z f ( z ) = 0 n ∈ Z n \in \mathbb{Z} n ∈ Z f ( n ) ≠ 0 f(n) \ne 0 f ( n ) = 0 f f f 特異点 z 1 , ⋯ , z m z_{1}, \cdots , z_{m} z 1 , ⋯ , z m ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n f ( n ) = − ∑ n = 1 m Res z n ( π f ( z ) csc π z )
\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^{n}f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \csc \pi z)
n = − ∞ ∑ ∞ ( − 1 ) n f ( n ) = − n = 1 ∑ m Res z n ( π f ( z ) csc π z )
交代級数についても同様に導出できるので、自分で書きながら試してみよう。
