📂複素解析

残余定理を用いた全ての整数に対する級数の和の公式

式

多項式関数の比、即ち有理関数の $f$ が $n \in \mathbb{Z}$ で $f(n) \ne 0$ であるとき、かつ $\lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$ であるとしよう。$f$ が有限な特異点 $z_{1}, \cdots , z_{m}$ を持つ時、 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)$$

説明

単に自然数だけをすべて足すのではなく、すべての整数に対する和を有限な合計で表示することに意味がある。もちろん、提供された $f$ が偶関数の場合はその半分を取れば、自然数に対する和を求めるのにも応用できる。コタンジェントはもちろん $\pi$ までいろいろなところに掛け合わさった複雑な形で、覚えておいて使うのは難しいが、こんなツールが存在することを知っておくと良い。

導出 ¹

第1部 . $\cos \pi z$ の矩形上での有界性

自然数 $k \in \mathbb{N}$ に対して上の図のような経路 $\mathscr{C}_{k}$ を考えてみよう。有理関数 $f$ がある自然数 $k_{0}$ が存在して $k>k_{0}$ 時、$\mathscr{C}_{k}$ 上で連続であり $\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$ と仮定しよう。

各 $\mathscr{C}_{k}$ に対して $\displaystyle |z| \ge k + {{1 } \over {2}} > k$ であり連続であるという仮定から、すべての $\varepsilon> 0$ に対して $${{1} \over {|z|} } < \delta \implies |z f(z) | < \varepsilon$$ を満たす $\delta > 0$ が存在する。$\displaystyle k > {{1} \over {\delta}}$ を選ぶと、$\mathscr{C}_{k}$ 上で $\varepsilon > 0$ に対して $\displaystyle |f(z)| < {{\varepsilon} \over {k + 1/2}}$ を満たす $k$ が存在する。

• 三角関数の加法定理: $$\sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \\ \sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \\ \tan\left( \alpha +\beta \right) =\frac { \tan\alpha +\tan\beta }{ 1-\tan\alpha \tan\beta } \\ \tan\left( \alpha -\beta \right) =\frac { \tan\alpha -\tan\beta }{ 1+\tan\alpha \tan\beta }$$
• 三角関数と双曲関数の関係: $$\begin{align*} \sinh (iz) =& i \sin z \\ \sin (iz) =& i \sinh z \\ \cosh (iz) =& \cos z \\ \cos (iz) =& \cosh z \end{align*}$$
• 三角関数と指数関数の関係: $$\sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 }$$

便宜上、$\alpha := k + 1/2$ と置けば、$\cos \alpha \pi = 0$ であり、$\sin \alpha \pi = (-1)^{k}$ である。$\mathscr{C}_{k}$ 上で $|\cot \pi z|$ は、$\mathscr{C}_{k}$ の垂直線上では $z = \pm \alpha + iy$ であり、$\left| y \right| \le \alpha$ であるため、 $$\begin{align*} |\cot \pi z| =& \left| {{ \cos \pi z } \over { \sin \pi z }} \right| \\ =& \left| {{ \cos \alpha \pi \cos i \pi y - \sin \pm \alpha \pi \sin i \pi y } \over { \sin \pm \alpha \pi \cos i \pi y + i \cos \alpha \pi \sin i \pi y }} \right| \\ =& \left| {{ \cos \alpha \pi \cosh \pi y \mp i \sin \alpha \pi \sinh \pi y } \over { \pm \sin \alpha \pi \cosh \pi y + i \cos \alpha \pi \sinh \pi y }} \right| \\ =& \left| {{ 0 + 1 \cdot \sinh \pi y} \over { 1 \cdot \cosh \pi y + 0 }} \right| \\ =& \left| \tanh \pi y \right| \\ <& 1 \end{align*}$$ であり、$\mathscr{C}_{k}$ の水平線上では、$z = x \pm i \alpha$ で、同様に $\left| x \right| \le \alpha$ である。実数の虚数根の大きさは常に $1$ なので、 三角不等式により、 $$\begin{align*} \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} + e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \le& \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} \right| + \left| e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| = e^{\alpha \pi} + e^{ - \alpha \pi} \\ \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} - e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \ge& \left| \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} \right| - \left| e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \right| = e^{\alpha \pi} - e^{ - \alpha \pi} \end{align*}$$ から次のことを得る。 $$\begin{align*} |\cot \pi z| = \left| {{ \cos \pi z } \over { \sin \pi z }} \right| \\ =& \left| {{ e^{i \pi z} + e^{ - i \pi z} } \over { e^{i \pi z} - e^{ -i \pi z} }} \right| \\ =& \left| {{ e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} + e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} } \over { e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} - e^{ -i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} }} \right| \\ \le & {{e^{\alpha \pi} + e^{- \alpha \pi}}\over {e^{\alpha \pi} - e^{- \alpha \pi}}} \\ =& \cot \alpha \pi \\ \le& \max \left\{ \pm \cot {{1} \over {2}} \pi, \pm \cot {{3} \over {2}} \pi \right\} & \because \sin \alpha \pi = (-1)^{k} \\ \le& \cot {{3} \over {2}} \pi \\ <& 2 \end{align*}$$ 結果的に、$|\cot \pi z|$ は矩形 $\mathscr{C}_{k}$ 上で常にバウンドされている。

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第2部. $\lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0$

$\mathscr{C}_{k}$ の長さは $$8 \left( k + {{1 } \over {2}} \right)$$ よって、ML補助定理により、 $${{1} \over {k}} < \delta \implies \left| \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz \right| \le {{8 (k + 1/2) 2 \varepsilon } \over { k + 1/2}} = 16 \varepsilon$$ そのため、 $$\lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0$$

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第3部. $\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)$

今、$F(z) := \pi f(z) \cot \pi z$ を $f(n) \ne 0$ と定義すると、$n \in \mathbb{Z}$ はすべて $F$ の単純極になる。残差を計算すると、 $$\text{Res}_{n} F(z) = {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { (\sin \pi z)' }} = \left. {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { \pi \cos \pi z }} \right|_{z = n} = f(n)$$ 仮定により、$F$ は依然として特異点 $z_{1} , z_{2} , \cdots , z_{m}$ を持つので、残差定理により、 $$\begin{align*} \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} F(z) dz =& \lim_{k \to \infty} 2 \pi i \left( \sum_{n = -k} ^{k} f(n) + \sum_{n = 1} ^{m} \text{Res}_{z_{n}} F(z) \right) \\ =& 2 \pi i \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) + \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) \right) \end{align*}$$ すでに上で $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0$ であることを示したため、 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)$$

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交代級数に対する公式

すべての整数に対する交代級数の和の公式: 有理関数 $f$ に対して $$\lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$$ であり、$n \in \mathbb{Z}$ で $f(n) \ne 0$ であるとしよう。$f$ が有限な特異点 $z_{1}, \cdots , z_{m}$ を持つ時、 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^{n}f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \csc \pi z)$$

交代級数についても同様に導出できるので、自分で書きながら試してみよう。