ハイネ・ボレルの定理
📂距離空間ハイネ・ボレルの定理
定理
定義
実数の部分集合 E⊂R に対して E⊂α∈∀⋃(xα,yα) を満たす開区間の集合 O={(x,y) ∣ x<y} を E のオープンカバーという。このような E がコンパクトであることは、E のすべてのオープンカバー O に対して E⊂i=1⋃mOi を満たす O の有限部分集合 {O1,O2,⋯,Om} が存在することと等価である。
ハイネ・ボレル
E∈R がコンパクトであるための必要十分条件は、E が有界で閉集合であることである。
説明
簡単に言えば、閉区間 [a,b] は明らかにコンパクトである。他の同等条件として「E のすべての無限部分集合が集積点 p∈E を持つ」というものがあるが、少なくとも ユークリッド空間 R においては、上記の表現を知っていれば十分であろう。
証明
(⟹)
E はコンパクトであるため、ある実数 r に対して
E⊂k=1⋃N(r−k,r+k)
を満たす自然数 N が存在し、それゆえに E は有界である。さらに、空集合は有界の条件を満たさないため、E=∅ であることが確かめられる。矛盾を導くために E が開集合であると仮定しよう。
E が有限集合である場合、単元素集合の有限和集合は自明に閉集合であるため、E は無限集合であると仮定する。そうすると、少なくとも1つの E に含まれない集積点 k→∞limxk=x が存在するだろう。E 内の点 yi∈E に対して di:=∣x−yi∣/2 とすると、x∈/E であるため、di>0 となる。したがって、すべての yi∈E に対して、区間 (yi−di,yi+di) は開集合であり、yi を含む、
{(yi−di,yi+di):yi∈E}
は E のオープンカバーの一つとなる。E がコンパクトであるため、
E⊂i=1⋃M(yi−di,yi+di)
を満たす自然数 M∈N が存在し、それにより di が有限に存在するため、その最小値
d0:=min{d1,d2,⋯,dM}
も存在する。一方で、k→∞limxk=x であるため、十分に大きい k に対して、∣x−xk∣<d0 となる xk∈E が存在するが、xk が E に属するということは、少なくともある (yi−di,yi+di) にも属するということ、つまりある i∈{1,⋯,M} に対して
xk∈(yi−di,yi+di)
である。それにより、∣yi−xk∣<di を満たすある i∈{1,⋯,M} が存在することが保証される。
しかし、di と d0 の選択により、三角不等式により以下の展開が成り立たねばならない。
di>≥=>≥=∣xk−yi∣∣x−yi∣−∣x−xk∣2di−∣x−xk∣2di−d02di−didi
まとめると、di>di であるため、これは矛盾であり、E は閉じている。
(⟸)
有界でありながら閉じている集合 E:=[a,b] を考えればよい。閉区間 [a,b] について、[a,2a+b] を左半分、[2a+b,b] を右半分とする。閉区間 [a,b] がある O の有限の元々の和集合 i=1⋃mOi に含まれないと仮定して矛盾を導こう。
もし [a,2a+b] と [2a+b,b] がどちらもある i∈I⋃Oi に含まれるなら、[a,b]⊂i=1⋃mOi によって表すことができるため、[a,b] の左半分または右半分のどちらかがある i∈I⋃Oi に含まれないはずである。含まれない側の半分を [a1,b1] とする。このプロセスは [an+1,bn+1]⊂[an,bn] に対して繰り返すことができ、bn−an=2n1(b−a) であるため、
n→∞lim(bn−an)=0
カントールの区間縮小定理: 内包された区間 [an,bn] に対して、n→∞lim(bn−an)=0 であれば n=1⋂∞[an,bn] は単一元集合である。
カントールの区間縮小定理により、n=1⋂∞[an,bn] は正確に1つの元素 p を持つため、p∈[a,b] でなければならない。したがって、非常に小さな正の数 ε>0 に対して
(p−ε,p+ε)⊂O
を満たす O∈O が存在するだろう。ここで、
p∈[an0,bn0,]⊂(p−ε,p+ε)⊂O
を満たすように自然数 n0 を取れば
元々 [an0,bn0] はどんな Oi の和集合にも含まれないように選んでいたが、O に含まれてしまった。したがって、[a,b]⊂i=1⋃mOi でなければならない。
■
E⊂Cn において、E がコンパクトであるための必要十分条件は、E が有界であり閉集合であることである。
一方、この定理は E⊂Cn に対しても成り立つ。