📂距離空間

ハイネ・ボレルの定理

定理

定義

実数の部分集合 $E \subset \mathbb{R}$ に対して $\displaystyle E \subset \bigcup_{\alpha \in \forall} ( x_{\alpha} , y_{\alpha})$ を満たす開区間の集合 $\mathcal{O} = \left\{ ( x , y ) \ | \ x < y \right\}$ を $E$ のオープンカバーという。このような $E$ がコンパクトであることは、$E$ のすべてのオープンカバー $\mathcal{O}$ に対して $\displaystyle E \subset \bigcup_{i =1}^{m} O_{i}$ を満たす $\mathcal{O}$ の有限部分集合 $\left\{ O_{1} , O_{2} , \cdots , O_{m} \right\}$ が存在することと等価である。

ハイネ・ボレル

$E \in \mathbb{R}$ がコンパクトであるための必要十分条件は、$E$ が有界で閉集合であることである。

説明

簡単に言えば、閉区間 $[a,b]$ は明らかにコンパクトである。他の同等条件として「$E$ のすべての無限部分集合が集積点 $p\in E$ を持つ」というものがあるが、少なくとも ユークリッド空間 $\mathbb{R}$ においては、上記の表現を知っていれば十分であろう。

証明 ¹

$(\Longrightarrow)$

$E$ はコンパクトであるため、ある実数 $r$ に対して

$$ E \subset \bigcup_{k =1}^{N} (r - k , r + k) $$

を満たす自然数 $N$ が存在し、それゆえに $E$ は有界である。さらに、空集合は有界の条件を満たさないため、$E \ne \emptyset$ であることが確かめられる。矛盾を導くために $E$ が開集合であると仮定しよう。

$E$ が有限集合である場合、単元素集合の有限和集合は自明に閉集合であるため、$E$ は無限集合であると仮定する。そうすると、少なくとも1つの $E$ に含まれない集積点 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} x_{k} = x$ が存在するだろう。$E$ 内の点 $y_{i} \in E$ に対して $d_{i} := |x- y_{i}| / 2$ とすると、$x \notin E$ であるため、$d_{i} > 0$ となる。したがって、すべての $y_{i} \in E$ に対して、区間 $\left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right)$ は開集合であり、$y_{i}$ を含む、 $$ \left\{ \left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) : y_{i} \in E \right\} $$ は $E$ のオープンカバーの一つとなる。$E$ がコンパクトであるため、 $$ E \subset \bigcup_{i =1}^{M} \left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) $$ を満たす自然数 $M \in \mathbb{N}$ が存在し、それにより $d_{i}$ が有限に存在するため、その最小値 $$ d_{0} : = \min \left\{ d_{1} , d_{2} , \cdots , d_{M} \right\} $$ も存在する。一方で、$\displaystyle \lim_{k \to \infty} x_{k} = x$ であるため、十分に大きい $k$ に対して、$\left| x - x_{k} \right| < d_{0}$ となる $x_{k} \in E$ が存在するが、$x_{k}$ が $E$ に属するということは、少なくともある $\left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right)$ にも属するということ、つまりある $i \in \left\{ 1 , \cdots , M \right\}$ に対して $$ x_{k} \in \left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) $$ である。それにより、$\left| y_{i} - x_{k} \right| < d_{i}$ を満たすある $i \in \left\{ 1 , \cdots , M \right\}$ が存在することが保証される。

しかし、$d_{i}$ と $d_{0}$ の選択により、三角不等式により以下の展開が成り立たねばならない。 $$ \begin{align*} d_{i} > & |x_{k} - y_{i}| \\ \ge & |x - y_{i}| - |x - x_{k} | \\ = & 2 d_{i} - |x - x_{k}| \\ > & 2 d_{i} - d_{0} \\ \ge & 2 d_{i} - d_{i} \\ = & d_{i} \end{align*} $$ まとめると、$d_{i} > d_{i}$ であるため、これは矛盾であり、$E$ は閉じている。

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$(\Longleftarrow)$

有界でありながら閉じている集合 $E := [a,b]$ を考えればよい。閉区間 $[a,b]$ について、$\displaystyle \left[a , {{a+b} \over {2}} \right]$ を左半分、$\displaystyle \left[{{a+b} \over {2}} , b \right]$ を右半分とする。閉区間 $[a,b]$ がある $\mathcal{O}$ の有限の元々の和集合 $\displaystyle \bigcup_{i =1}^{m} O_{i}$ に含まれないと仮定して矛盾を導こう。

もし $\displaystyle \left[a , {{a+b} \over {2}} \right]$ と $\displaystyle \left[{{a+b} \over {2}} , b \right]$ がどちらもある $\displaystyle \bigcup_{i \in I } O_{i}$ に含まれるなら、$\displaystyle [a,b] \subset \bigcup_{i =1}^{m} O_{i}$ によって表すことができるため、$[a,b]$ の左半分または右半分のどちらかがある $\displaystyle \bigcup_{i \in I } O_{i}$ に含まれないはずである。含まれない側の半分を $[a_{1} , b_{1}]$ とする。このプロセスは $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_{n} , b_{n}]$ に対して繰り返すことができ、$\displaystyle b_{n} - a_{n} = {{1} \over {2^n}} (b-a)$ であるため、

$$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } ( b_{n} - a_{n} ) = 0 $$

カントールの区間縮小定理: 内包された区間 $[a_{n}, b_{n}]$ に対して、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ であれば $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ は単一元集合である。

カントールの区間縮小定理により、$\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ は正確に1つの元素 $p$ を持つため、$p \in [a,b]$ でなければならない。したがって、非常に小さな正の数 $\varepsilon >0$ に対して

$$ ( p - \varepsilon , p + \varepsilon) \subset O $$

を満たす $O \in \mathcal{O}$ が存在するだろう。ここで、 $$ p \in [a_{n_{0}},b_{n_{0}},] \subset (p - \varepsilon , p + \varepsilon ) \subset O $$

を満たすように自然数 $n_{0}$ を取れば

元々 $[a_{n_{0}},b_{n_{0}}]$ はどんな $O_{i}$ の和集合にも含まれないように選んでいたが、$O$ に含まれてしまった。したがって、$\displaystyle [a,b] \subset \bigcup_{i =1}^{m} O_{i}$ でなければならない。

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ユークリッド空間上のハイネ・ボレル定理

$E \subset \mathbb{C}^{n}$ において、$E$ がコンパクトであるための必要十分条件は、$E$ が有界であり閉集合であることである。

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一方、この定理は $E \subset \mathbb{C}^{n}$ に対しても成り立つ。