logo

ハイネ・ボレルの定理 📂距離空間

ハイネ・ボレルの定理

定理

定義

実数部分集合 ERE \subset \mathbb{R} に対して Eα(xα,yα)\displaystyle E \subset \bigcup_{\alpha \in \forall} ( x_{\alpha} , y_{\alpha}) を満たす開区間の集合 O={(x,y)  x<y}\mathcal{O} = \left\{ ( x , y ) \ | \ x < y \right\}EEオープンカバーという。このような EEコンパクトであることは、EE のすべてのオープンカバー O\mathcal{O} に対して Ei=1mOi\displaystyle E \subset \bigcup_{i =1}^{m} O_{i} を満たす O\mathcal{O} の有限部分集合 {O1,O2,,Om}\left\{ O_{1} , O_{2} , \cdots , O_{m} \right\} が存在することと等価である。

ハイネ・ボレル

ERE \in \mathbb{R} がコンパクトであるための必要十分条件は、EE有界閉集合であることである。

説明

簡単に言えば、閉区間 [a,b][a,b] は明らかにコンパクトである。他の同等条件として「EE のすべての無限部分集合が集積点 pEp\in E を持つ」というものがあるが、少なくとも ユークリッド空間 R\mathbb{R} においては、上記の表現を知っていれば十分であろう。

証明 1

()(\Longrightarrow)

EE はコンパクトであるため、ある実数 rr に対して

Ek=1N(rk,r+k) E \subset \bigcup_{k =1}^{N} (r - k , r + k)

を満たす自然数 NN が存在し、それゆえに EE は有界である。さらに、空集合有界の条件を満たさないため、EE \ne \emptyset であることが確かめられる。矛盾を導くために EE開集合であると仮定しよう。

EE が有限集合である場合、単元素集合の有限和集合は自明に閉集合であるため、EE は無限集合であると仮定する。そうすると、少なくとも1つの EE に含まれない集積点 limkxk=x\displaystyle \lim_{k \to \infty} x_{k} = x が存在するだろう。EE 内の点 yiEy_{i} \in E に対して di:=xyi/2d_{i} := |x- y_{i}| / 2 とすると、xEx \notin E であるため、di>0d_{i} > 0 となる。したがって、すべての yiEy_{i} \in E に対して、区間 (yidi,yi+di)\left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right)開集合であり、yiy_{i} を含む、 {(yidi,yi+di):yiE} \left\{ \left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) : y_{i} \in E \right\} EE のオープンカバーの一つとなる。EE がコンパクトであるため、 Ei=1M(yidi,yi+di) E \subset \bigcup_{i =1}^{M} \left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) を満たす自然数 MNM \in \mathbb{N} が存在し、それにより did_{i} が有限に存在するため、その最小値 d0:=min{d1,d2,,dM} d_{0} : = \min \left\{ d_{1} , d_{2} , \cdots , d_{M} \right\} も存在する。一方で、limkxk=x\displaystyle \lim_{k \to \infty} x_{k} = x であるため、十分に大きい kk に対して、xxk<d0\left| x - x_{k} \right| < d_{0} となる xkEx_{k} \in E が存在するが、xkx_{k}EE に属するということは、少なくともある (yidi,yi+di)\left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) にも属するということ、つまりある i{1,,M}i \in \left\{ 1 , \cdots , M \right\} に対して xk(yidi,yi+di) x_{k} \in \left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) である。それにより、yixk<di\left| y_{i} - x_{k} \right| < d_{i} を満たすある i{1,,M}i \in \left\{ 1 , \cdots , M \right\} が存在することが保証される。

しかし、did_{i}d0d_{0} の選択により、三角不等式により以下の展開が成り立たねばならない。 di>xkyixyixxk=2dixxk>2did02didi=di \begin{align*} d_{i} > & |x_{k} - y_{i}| \\ \ge & |x - y_{i}| - |x - x_{k} | \\ = & 2 d_{i} - |x - x_{k}| \\ > & 2 d_{i} - d_{0} \\ \ge & 2 d_{i} - d_{i} \\ = & d_{i} \end{align*} まとめると、di>did_{i} > d_{i} であるため、これは矛盾であり、EE は閉じている。


()(\Longleftarrow)

有界でありながら閉じている集合 E:=[a,b]E := [a,b] を考えればよい。閉区間 [a,b][a,b] について、[a,a+b2]\displaystyle \left[a , {{a+b} \over {2}} \right] を左半分、[a+b2,b]\displaystyle \left[{{a+b} \over {2}} , b \right] を右半分とする。閉区間 [a,b][a,b] がある O\mathcal{O} の有限の元々の和集合 i=1mOi\displaystyle \bigcup_{i =1}^{m} O_{i} に含まれないと仮定して矛盾を導こう。

もし [a,a+b2]\displaystyle \left[a , {{a+b} \over {2}} \right][a+b2,b]\displaystyle \left[{{a+b} \over {2}} , b \right] がどちらもある iIOi\displaystyle \bigcup_{i \in I } O_{i} に含まれるなら、[a,b]i=1mOi\displaystyle [a,b] \subset \bigcup_{i =1}^{m} O_{i} によって表すことができるため、[a,b][a,b] の左半分または右半分のどちらかがある iIOi\displaystyle \bigcup_{i \in I } O_{i} に含まれないはずである。含まれない側の半分を [a1,b1][a_{1} , b_{1}] とする。このプロセスは [an+1,bn+1][an,bn][a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_{n} , b_{n}] に対して繰り返すことができ、bnan=12n(ba)\displaystyle b_{n} - a_{n} = {{1} \over {2^n}} (b-a) であるため、

limn(bnan)=0 \displaystyle \lim_{ n \to \infty } ( b_{n} - a_{n} ) = 0

カントールの区間縮小定理: 内包された区間 [an,bn][a_{n}, b_{n}] に対して、limn(bnan)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0 であれば n=1[an,bn]\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] は単一元集合である。

カントールの区間縮小定理により、n=1[an,bn]\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] は正確に1つの元素 pp を持つため、p[a,b]p \in [a,b] でなければならない。したがって、非常に小さな正の数 ε>0\varepsilon >0 に対して

(pε,p+ε)O ( p - \varepsilon , p + \varepsilon) \subset O

を満たす OOO \in \mathcal{O} が存在するだろう。ここで、 p[an0,bn0,](pε,p+ε)O p \in [a_{n_{0}},b_{n_{0}},] \subset (p - \varepsilon , p + \varepsilon ) \subset O

を満たすように自然数 n0n_{0} を取れば

元々 [an0,bn0][a_{n_{0}},b_{n_{0}}] はどんな OiO_{i} の和集合にも含まれないように選んでいたが、OO に含まれてしまった。したがって、[a,b]i=1mOi\displaystyle [a,b] \subset \bigcup_{i =1}^{m} O_{i} でなければならない。

ユークリッド空間上のハイネ・ボレル定理

ECnE \subset \mathbb{C}^{n} において、EE がコンパクトであるための必要十分条件は、EE が有界であり閉集合であることである。


一方、この定理は ECnE \subset \mathbb{C}^{n} に対しても成り立つ。


  1. Wade. (2013). An Introduction to Analysis(4th Edition): p309~310. ↩︎