📂量子力学

調和振動子演算子の行列表現

説明

調和

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シュレディンガー方程式は線形方程式だから方程式を満たす複数の波動関数の線形結合も方程式を満たす。調和振動子の各状態の固有関数を$\ket{\psi_{0}}$, $\ket{\psi_{1}}$, $\cdots$, $|\psi_{n}>$とすると、これらの固有関数の線形結合である$\ket{\psi}=c_{0}\ket{\psi_{0}} + c_{1}\ket{\psi_{1}} + \cdots + c_{n}|\psi_{n}>$もシュレディンガー方程式の解だ。(これは固有関数ということではない。一般に固有関数の線形結合は固有関数ではない。) 基底$\mathrm{basis}$を$ (\psi_{0},\ \psi_{1},\cdots , \psi_{n})$として基底状態から順番に番号をつけると、基底状態からの固有関数を以下のような行列で表現できる。

$$ \ket{\psi_{0}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \ket{\psi_{1}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, |\psi_{n}> = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $$

線形代数に詳しくない人は直交座標系で各単位ベクトルがどのように表現されるか考えてみよう。 $ \hat{\mathbf{x}} = (1,\ 0,\ 0)$, $\hat{\mathbf{y}} = (0,\ 1,\ 0), \hat{\mathbf{z}} = (0,\ 0,\ 1) $$

따라서 각 고유함수들의 선형결합인 $\ket{\psi}$는 아래와 같은 행렬로 표현할 수 있다.

$$ \ket{\psi}=c_{0}\ket{\psi_{0}} + c_{1}\ket{\psi_{1}} + \cdots + c_{n}|\psi_{n}> = \begin{pmatrix} c_{0} \\ c_{1} \\ \vdots \\ c_{n} \end{pmatrix} $$

사다리 연산자의 행렬 표현을 구하기에 앞서 간단한 예시로 그 원리를 설명하겠다.임의의 $2\times 2$행렬인 $A$가 있다.이 행렬의 성분을 모르기에 아래와 같이 표현하자.$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$이 행렬의 1행 1열 성분을 뽑아내는 방법은 앞뒤로 두 행렬 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$을 곱하는 것이다.$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = a $ 같은 방법을 써서 각 성분을 구하는 과정은 아래와 같다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = b $$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = c $$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = d $$

이 원리를 이해했다면 이제 본격적으로 조화진동자의 사다리 연산자의 행렬표현을 구해보자.이제부터 조화 진동자의 고유 함수를 간단하게 $\psi_{n}> \equiv |n>$으로 표시하겠다.그러면 고유함수와 사다리 연산자의 관계식을 다음과 같이 쓸 수 있다.$a_{+}|n>= \sqrt{n+1}|n>$이를 이용하여 $a_{+}$의 각 성분을 구할 수 있다.조화 진동자의 상태는 $n=0$부터 시작함에 주의하자.또한 $\braket{m | n}=\delta_{mn}$를 이용하면 $\braket{n+1 | a_{+}|n}$일 때만 행렬의 성분이 존재함을 알 수 있다.다른 성분은 전부 $0$이다.예를 들어 $\braket{1 | a_{+}|1}=\braket{1 | \sqrt{2}|2}=\sqrt{2}\braket{1 | 2}=0 $$ \braket{2 | a_{+}|1}=\braket{2 | \sqrt{2}|2}=\sqrt{2}\braket{2 | 2}=\sqrt{2}$ $0$ゼロではない成分だけ探してみると$\braket{1 | a_{+}|0}=1 $$ \braket{2 | a_{+}|1}=\sqrt{2} $$ \braket{3 | a_{+}|2}=\sqrt{3}$ $\vdots $$ \braket{n+1 | a_{+}|n}=\sqrt{n+1}$ 従って、$a_{+}$の行列は行$(n+2)$ 列$(n+1)$で$0$ではない値$\sqrt{n+1}$を持つ。(調和振動子の状態は$n=0$から始まることをもう一度覚えておこう)$a_{+}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} &0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} &0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& \sqrt{4} &0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$ 同じ方法で$a_{-}$の行列表現も求めることができる。過程は省略するから自分でやってみよう。行列表現$a_{-}=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0& 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$ も$(a_{+})^{\ast}=a_{-}$を満たすことがわかる。調和振動子のハミルトニアン$H$ も行列で表現できる。$H|n>=(n+\frac{1}{2})\hbar w|n>$を知っているから上記と同じ方法を使えば$H=\hbar w\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0 & \frac{9}{2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$これも過程は省略するから自分でやってみよう。