📂確率微分方程式

ブラウン運動の超函数的導関数は白色雑音である

要約

ブラウン運動の超関数的導関数は白色雑音である。

説明

ブラウン運動$B_{t}$は、伝統的な意味での導関数が存在しない。したがって、次のような条件を満たす$\xi$を白色雑音と定義することができる。

$$\begin{align} E[\xi_{t}] &= 0, & \forall t \\ \Cov(\xi_{t}, \xi_{s}) &= \delta_{0} \end{align}$$

$\Cov$は共分散であり、$\delta$はディラックのデルタ関数である。ここで$B_{t}$を超関数として拡張して考えると、その超関数的導関数が白色雑音の定義を満たすことがわかる。言い換えれば白色雑音はブラウン運動の弱導関数である。

証明¹

確率過程$B(t,w) : [0, \infty) \times \Omega \to \mathbb{R}^{n}$をブラウン運動とする。便宜上これを$B_{t}(\omega) = B(t,\omega)$と表示しよう。$B_{t}$に対して、次のような超関数$B_{t}$を定義しよう。

$$B_{t} [\phi] := \int B_{t} \phi (t) dt, \quad \forall \phi \in \mathcal{D}$$

ここで$\phi$はテスト関数である。超関数$B_{t}$の導関数は、定義により次のように定義される超関数である。

$$B_{t}^{\prime} [\phi] := - \int B_{t} \phi^{\prime}(t) dt, \quad \forall \phi \in \mathcal{D}$$

これを簡単に$\xi (\phi) = B_{t}^{\prime} [\phi]$と表そう。今、$\xi (\phi)$が$(1)$、$(2)$を満たすことを示せばよい。

ブラウン運動の基本特性

[2] $E ( B_{t} ) = 0$

[4] $\Cov ( B_{t} , B_{s} ) = E (B_{t}B_{s}) = \min (t, s)$

• $E\left[ \xi (\phi) \right] = 0$

  $$\begin{align*} E[\xi (\phi)] &= E\left[ - \int B_{t} \phi^{\prime}(t) dt \right] \\ &= - \int E[B_{t}] \phi^{\prime}(t) dt \\ &= - \int 0 \cdot \phi^{\prime}(t) dt = 0 \end{align*}$$

  二つ目の等号は$E$が$t$に無関係であるため、三つ目の等号はブラウン運動の性質[2]に基づいて成り立つ。

• $\Cov \left[ \xi, \xi \right] = \delta_{0}$

  ブラウン運動の性質[4]により、

  $$\begin{align*} \Cov \left[ \xi (\phi), \xi (\psi) \right] &= E\left[ \xi (\phi) \xi (\psi) \right] \\ &= E\left[ \int B_{t}\phi^{\prime}(t)dt \int B_{s}\psi^{\prime}(s)ds \right] \\ &= E\left[ \int\int B_{t}B_{s}\phi^{\prime}(t)\psi^{\prime}(s) dtds \right] \\ &= \int\int E\left[ B_{t}B_{s} \right] \phi^{\prime}(t)\psi^{\prime}(s) dtds \\ &= \int\int \min(t,s) \phi^{\prime}(t)\psi^{\prime}(s) dtds \\ \end{align*}$$

  四つ目の等号は$E$が$t$、$s$に無関係であるため、五つ目の等号はブラウン運動の性質[4]に基づいて成立する。

  $s$が固定されている時、$\min (t,s)$は次のような$t$に対する関数である。

  $$\min (t,s) = \begin{cases} t & 0 \le t \le s \\ s & s \le t \end{cases}$$

  したがって、積分を計算すると、

  $$\begin{align*} &\quad \int\int \min(t,s) \phi^{\prime}(t)\psi^{\prime}(s) dtds \\ &= \int \int_{0}^{s} t \phi^{\prime}(t) \psi^{\prime}(s) dtds + \int \int_{s}^{\infty} s \phi^{\prime}(t) \psi^{\prime}(s) dtds \\ &= \int \left( \int_{0}^{s} t \phi^{\prime}(t) dt \right) \psi^{\prime}(s)ds + \int s \int_{s}^{\infty} \phi^{\prime}(t) dt \psi^{\prime}(s) ds \\ &= \int \left( \left[ t\phi (t) \right]_{0}^{s} - \int_{0}^{s}\phi (t) dt \right) \psi^{\prime}(s)ds + \int s [\phi (t)]_{s}^{\infty} \psi^{\prime}(s) ds \\ &= \int s\phi (s) \psi^{\prime}(s)ds - \int \int_{0}^{s}\phi (t) dt \psi^{\prime}(s) ds - \int s \phi (s) \psi^{\prime}(s) dtds \\ &= - \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{s}\phi (t) dt \psi^{\prime}(s) ds = - \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{s}\phi (t) dt \right) \psi^{\prime}(s) ds \\ &= - \left[ \left( \int_{0}^{s}\phi (t) dt \right) \psi (s) \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \dfrac{d}{ds}\left( \int_{0}^{s}\phi (t) dt \right) \psi (s) ds \\ &= \int_{0}^{\infty} \phi (s) \psi (s) ds \\ &= \phi (0) \psi (0) \\ &= \delta_{0}[\phi\psi] \\ \end{align*}$$

  $$\implies \Cov\left[ \xi, \xi \right] = \delta_{0}$$

  三つ目と六つ目の等号では、部分積分が使用されている。七つ目の等号は$\psi (\infty) = 0$、$\displaystyle \int_{0}^{0}\phi (t)dt=0$によって成立する。

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