📂測度論

エゴロフの定理

定理^{1 2}

測度空間 $( X , \mathcal{E} , \mu)$ が与えられ、$\mu$ は有限測度とする。

可測関数のシーケンス $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ が$X$ においてある可測関数 $f$ にほとんど至る所で収束すれば、$f_{n}$ は$f$ にほとんど一様収束し、測度収束する。

説明

この定理は一言で言えば、可測関数に対しては点毎収束と一様収束がほとんど同じであることを示している。

証明

一般性を失うことなく、$f_{n}$ は$X$ の全ての点で$f$ に収束すると仮定する。二つの自然数 $n , m \in \mathbb{N}$ に対し、次のような集合 $E_{n} (m) \subset X$ を定義しよう: $$E_{n} (m) := \cup_{k=n}^{\infty} \left\{ x \in X : \left| f_{k}(x) - f(x) \right| \ge {\frac{1}{m}} \right\}$$

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Part 1. 測度収束

$E_{n} (m)$ の定義により $E_{n+1} (m) \subset E_{n} (m)$ であり、すべての $x \in X$ で $f_{n} (x) \to f(x)$ なので、それらの無限交差集合は次のようになる。 $$\bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} (m) = \emptyset$$

測度収束の定義: 可測関数のシーケンス $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ がある可測関数 $f : X \to \mathbb{R}$ とすべての $M >0$ について次を満たすとき $f$ に測度収束^{converge in measure}すると言う。 $$\lim_{n \to \infty} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) = 0$$

仮定より $\mu (X) < \infty$ なので $n \to \infty$ のとき $\mu \left( E_{n} (m) \right) \to 0$ でなければならず、$f_{n}$ は $f$ に測度収束することがわかる。

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Part 2. ほとんど一様収束

ほとんど一様収束の定義: 可測関数のシーケンス $\left\{ f_{n} : X \to \mathbb{R} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ がある可測関数 $f : X \to \mathbb{R}$ とそれぞれの $\delta > 0$ について $\mu \left( E_{\delta} \right) < \delta$ を満たす $E_{\delta} \in \mathcal{E}$ が存在し、$X \setminus E_{\delta}$ で $f_{n}$ が $f$ に一様収束すれば、$f_{n}$ は $f$ にほとんど一様収束^{almost uniformly convergent}すると言う。

任意の $\delta > 0$ に対して $n = k_{m}$ が以下を満たす自然数、$E_{\delta} \in X$ もまた以下を満たす集合として定義しよう。 $$\begin{align*} \mu \left( E_{k_{m}} (m) \right) =& {\frac{ \delta }{ 2^{m} }} \\ E_{\delta} =& \bigcup_{m=1}^{\infty} E_{k_{m}} (m) \\ \implies \mu \left( E_{\delta} \right) < & \delta \end{align*}$$ でなければならない。もし $x \notin E_{\delta}$ であれば $x \notin E_{k_{m}} (m)$ であり、すべての $n \ge k_{m}$ に対して次が成立する。 $$\left| f_{n} (x) - f (x) \right| < {\frac{ 1 }{ m }}$$ これは換言すれば $f_{n}$ が $X \setminus E_{\delta}$ で $f$ に一様収束することを意味し、したがって $f_{n}$ は $f$ にほとんど一様収束する。

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