📂行列代数

可逆行列の固有値対角化

証明

$A$は可逆行列であるため、$A$の線形独立な固有ベクトル$\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m}$が存在する。 $$\begin{align*} AS =& A \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} A \mathbf{x}_{1}, A \mathbf{x}_{2}, \cdots , A \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda_{1} \mathbf{x}_{1}, \lambda_{2} \mathbf{x}_{2}, \cdots , \lambda \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} \\ =& S \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} \end{align*}$$

$S$は線形独立な固有ベクトルで構成された行列であるため、$S^{-1}$が存在し、左側に移すと $$S^{-1} A S = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix}$$

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