📂古典力学

ツィオルコフスキーのロケット方程式

方程式¹

外力がない一次元の空間で燃料が噴射されるロケットの速度を示す方程式は、チオルコフスキーロケット方程式^{Tsiolkovsky’s rocket equation}と呼ばれる。

$$ v = v_{0} + V \ln \dfrac{m_{0}}{m} $$

ここで、$v$はロケットの最終速度、$v_{0}$はロケットの初速度、$V$はロケットに対する燃料の相対噴射速度、$m$はロケットの最終質量、$m_{0}$はロケットの初期質量を表す。

外力が存在しない一次元の空間の方程式であるため、理想ロケット方程式^{ideal rocket equation}とも呼ばれる。

導出

$m$をロケットの質量、$\mathbf{v}$をロケットの速度、$\mathbf{V}$をロケットに対する燃料の相対噴射速度、$\mathbf{F}_{\text{ext}}$を外力とする。すると、可変質量系の運動方程式は以下のようになる。

$$ \mathbf{F}_{\text{ext}} = m \dot{\mathbf{v}} - \mathbf{V}\dot{m} $$

この時、$\dot{}$[ドット(dot)]は時間に対する微分を意味する。

$$ \dot{\mathbf{v}} = \dfrac{d \mathbf{v}}{d t},\quad \dot{m} = \dfrac{d m}{d t} $$

また、地球や他の星の重力、空気抵抗などを無視して、外力を$0$と仮定する。

$$ m \dot{\mathbf{v}} = \mathbf{V}\dot{m} $$

ここで、右辺の$\mathbf{V}\dot{m}$をロケットの推力^{thrust of the rocket}と呼ぶ。問題を単純化するために一次元の空間を考えよう。すると、$\mathbf{v} = v$であり、燃料はロケットの逆方向に噴射されるため、$\mathbf{V} = -V$である。

$$ \begin{align*} && m \dot{v} &= -V\dot{m} \\ \implies && m dv &= -V dm \end{align*} $$

そして、噴射速度$-V$が一定と仮定して、ロケットの速度を求めるために、変数分離法で積分すると、

$$ \begin{align*} && m dv &= -V dm \\ \implies && dv &= -V \dfrac{1}{m} d m \\ \implies && \int_{v_{0}}^{v} dv &= -V \int_{m_{0}}^{m} \dfrac{1}{m} d m \\ \implies && v - v_{0} &= V \ln \dfrac{m_{0}}{m} \\ \end{align*} $$

$$ \implies v = v_{0} + V \ln \dfrac{m_{0}}{m} $$

■

参照

• 可変質量系の運動方程式