過飽和系と未飽和系
定義1
行列について、以下の線形システムを考えよう。
もしならば、未知数より制約条件が多い場合であり、このような線形システムを過剰決定系overdetermined systemと呼ぶ。
もしならば、未知数より制約条件が少ない場合であり、このような線形システムを過小決定系underdetermined systemと呼ぶ。
定理 1
ランクがである行列についての線形システムを考えよう。
上記線形システムの一般解は個のパラメーターを持つ。
証明
まず次元定理により、である。それから次の定理より、パラメーターの数とヌル次数の数が同じであることがわかる。
がのある解だとしよう。をの基底としよう。その時、の全ての解は次のように表現できる。
つまり、パラメーターの数とが同じである。
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定理 2
行列について、以下の線形システムを考えよう。
過剰決定
線形システムが過剰決定系の場合、すなわちの場合、線形システムはにある少なくとも1つのベクトルに対して解を持たない。つまり、一般解を持たない。
過小決定
線形システムが過小決定系の場合、すなわちの場合、線形システムはにある全てのベクトルに対して解を持たないか、または無限に多くの解を持つ。
証明
過剰決定
とすると、の列ベクトルは個であるため、を生成することはできない(ベクトルの数が次元の数よりも少ないため)。したがって、の列空間に属さない少なくとも1つのベクトルが存在する。
線形システムが解を持つ必要十分条件は、がの列空間の要素であることである。
この補助定理によって、は解を持たない。
過小決定
と仮定しよう。
解を持たない場合
この場合は証明が完了である。
解を持つ場合
解を持つならば、定理 1により、一般解は個のパラメーターを持つ。はとのうちの小さい値以下であるので、次が成り立つ。
これは、線形システムの一般解が1つ以上のパラメーターを持つことを意味し、解が存在するならば、それは無数に多くのものである。
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Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p259 ↩︎