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過飽和系と未飽和系 📂行列代数

過飽和系と未飽和系

定義1

m×nm \times n行列AAについて、以下の線形システムを考えよう。

Ax=b A \mathbf{x} = \mathbf{b}

もしm>nm \gt nならば、未知数より制約条件が多い場合であり、このような線形システムを過剰決定系overdetermined systemと呼ぶ。

もしm<nm \lt nならば、未知数より制約条件が少ない場合であり、このような線形システムを過小決定系underdetermined systemと呼ぶ。

定理 1

ランクrrであるm×nm \times n行列AAについての線形システムを考えよう。

Ax=b A \mathbf{x} = \mathbf{b}

上記線形システムの一般解はnrn-r個のパラメーターを持つ。

証明

次元定理

rank(A)+nullity(A)=dim(A) \rank(A) + \nullity(A) = \dim(A)

まず次元定理により、nullity(A)=nr\nullity(A) = n-rである。それから次の定理より、パラメーターの数とヌル次数の数が同じであることがわかる。

x0\mathbf{x}_{0}Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}のある解だとしよう。S={v1,v2,,vk}S= \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{k} \right\}N(A)\mathcal{N}(A)基底としよう。その時、Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}の全ての解は次のように表現できる。

x=x0+c1v1+c2v2++ckvk \mathbf{x} = \mathbf{x}_{0} + c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{k}\mathbf{v}_{k}

つまり、パラメーターの数とnullity(A)\nullity(A)が同じである。

定理 2

m×nm \times n行列AAについて、以下の線形システムを考えよう。

Ax=b A \mathbf{x} = \mathbf{b}

  • 過剰決定

    線形システムが過剰決定系の場合、すなわちm>nm \gt nの場合、線形システムはRm\mathbb{R}^{m}にある少なくとも1つのベクトルb\mathbf{b}に対して解を持たない。つまり、一般解を持たない。

  • 過小決定

    線形システムが過小決定系の場合、すなわちm<nm \lt nの場合、線形システムはRm\mathbb{R}^{m}にある全てのベクトルb\mathbf{b}に対して解を持たないか、または無限に多くの解を持つ。

証明

  • 過剰決定

    m>nm \gt nとすると、AAの列ベクトルはnn個であるため、Rm\mathbb{R}^{m}生成することはできない(ベクトルの数が次元の数よりも少ないため)。したがって、AA列空間に属さない少なくとも1つのベクトルb\mathbf{b}が存在する。

    補助定理

    線形システムAx=bA \mathbf{x} = \mathbf{b}が解を持つ必要十分条件は、b\mathbf{b}AAの列空間の要素であることである。

    この補助定理によって、Ax=bA \mathbf{x} = \mathbf{b}は解を持たない。

  • 過小決定

    m<nm \lt nと仮定しよう。

    • 解を持たない場合

      この場合は証明が完了である。

    • 解を持つ場合

      解を持つならば、定理 1により、一般解はnrn-r個のパラメーターを持つ。r=rank(A)r = \rank (A)mmnnのうちの小さい値以下であるので、次が成り立つ。

      nrnm>0 n-r \le n-m > 0

      これは、線形システムの一般解が1つ以上のパラメーターを持つことを意味し、解が存在するならば、それは無数に多くのものである。


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p259 ↩︎