logo

測地曲率は内在的である 📂幾何学

測地曲率は内在的である

定理1

曲面上の曲線の測地曲率κg\kappa_{g}は内在的である。

説明

つまり、κg\kappa_{g}は単位法線ベクトルn\mathbf{n}なしで、リーマン計量の係数だけで計算できるってことだ。もちろん、次のように外在的な公式extrinsic formulaでも表現できる。κN=T′=α′′=κnn+κgS\kappa \mathbf{N} = \mathbf{T}^{\prime} = \alpha^{\prime \prime} = \kappa_{n}\mathbf{n}+ \kappa_{g}\mathbf{S}だから、

κg= ⟨T′,S⟩= ⟨T′,n×T⟩= [T′,n,T]= [n,T,T′]= ⟨n,T×T′⟩= ⟨n,T×κN⟩= κ⟨n,T×N⟩= κ⟨n,B⟩= κcos⁡θ \begin{align*} \kappa_{g} =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{S} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \left[ \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \left[ \mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{T}^{\prime} \right] \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{T}^{\prime} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \kappa \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{B} \right\rangle \\ =&\ \kappa \cos \theta \end{align*}

ここで、[⋅,⋅,⋅]\left[ \cdot, \cdot, \cdot \right]はスカラー三重積を意味する。B\mathbf{B}はバイノーマルだ。θ\thetaはn\mathbf{n}とB\mathbf{B}の間の角度だ。

証明

  • gijg_{ij} : リーマン計量の係数
  • Lij=⟨xij,n⟩L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle : 第二基本形式の係数
  • Γijk=∑l=12⟨xij,xl⟩glk=⟨xij,xl⟩glk\Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} : クリストッフェル記号

x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}を座標系チャートマッピング、UUの座標を(u1,u2)(u_{1}, u_{2})としよう。それ上の曲線α(s)=x(u1(s),u2(s))\alpha (s) = \mathbf{x}\left( u_{1}(s), u_{2}(s) \right)が与えられたとする。すると、α′′\alpha^{\prime \prime}は次のように表される。

α′′(s)=κn(s)n(s)+κg(s)S(s) \alpha^{\prime \prime}(s) = \kappa_{n}(s)\mathbf{n}(s) + \kappa_{g}(s)\mathbf{S}(s)

n\mathbf{n}は単位法線ベクトル、S=n×T\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}だ。また、xi\mathbf{x}_{i}、xij\mathbf{x}_{ij}はそれぞれx\mathbf{x}の1次、2次の偏導関数である。

xi:=∂x∂uiandxij:=∂2x∂uj∂ui \mathbf{x}_{i} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{i}} \quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{ij} := \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}

  • パート1.

    まず、単位法線と接平面の基底のスカラー三重積を次のように示そう。

    ϵij=⟨n,xi×xj⟩=[n,xi,xj] \epsilon _{ij} = \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{i} \times \mathbf{x}_{j} \rangle = \left[ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right]

    すると、xi×xi=0\mathbf{x}_{i} \times \mathbf{x}_{i} = \mathbf{0}なので、各値は次のようになる。

    ϵ11=ϵ22=0 \epsilon_{11} = \epsilon_{22} = 0

    n\mathbf{n}は定義によりx1×x2\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}に対して垂直なので、

    ⟨n,x1×x2⟩=∣n∣∣x1×x2∣ \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \rangle = \left| \mathbf{n} \right| \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|

    ここで、n\mathbf{n}は単位ベクトルであり、g=∣x1×x2∣2g = \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2}なので

    ϵ12=⟨n,x1×x2⟩=−⟨n,x2×x1⟩=−ϵ21=g \epsilon_{12} = \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \rangle = -\langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{2} \times \mathbf{x}_{1} \rangle = -\epsilon_{21} = \sqrt{g}

  • パート2.

    S=n×T\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}であり、S\mathbf{S}が単位ベクトルであるので

    κg=⟨kgS,S⟩=⟨kgS,n×T⟩=[κgS,n,T] \kappa _{g} = \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{S} \right\rangle = \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle = \left[ \kappa_{g}\mathbf{S}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right]

    公式

    κgS=∑i=12[uk′′+∑i,j=12Γijkui′uj′]xk \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum \limits_{i=1}^{2} \left[ u_{k}^{\prime \prime} + \sum \limits_{i,j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k}u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime} \right] \mathbf {x}_{k}

    接線ベクトルはT=xlul′\mathbf{T} = \mathbf{x}_{l}u_{l}^{\prime}で、上の公式によりκg\kappa_{g}は次のように計算される。

    κg= ⟨kgS,n×T⟩=[κgS,n,T]= ⟨∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)xk,n×T⟩= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)⟨xk,n×T⟩= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)[xk,n,T]= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)[n,T,xk]= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)[n,xlul′,xk]= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)ul′[n,xl,xk]= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)ul′ϵlk \begin{align*} \kappa_{g} =&\ \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle = \left[ \kappa_{g}\mathbf{S}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \left\langle \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right)\mathbf{x}_{k} , \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left\langle \mathbf{x}_{k} , \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{x}_{k}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{n}, \mathbf{x}_{l}u_{l}^{\prime}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) u_{l}^{\prime} \left[\mathbf{n}, \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) u_{l}^{\prime} \epsilon_{lk} \end{align*}

    ここで、Γijk\Gamma_{ij}^{k}は内在的であり、パート1.によりϵlk\epsilon_{lk}も内在的なので、κg\kappa_{g}は内在的である。

  1. Richard S. Millman and George D. Parker, 差分幾何学の要素 (1977), p106-107 ↩︎