📂幾何学

測地曲率は内在的である

定理¹

曲面上の曲線の測地曲率$\kappa_{g}$は内在的である。

説明

つまり、$\kappa_{g}$は単位法線ベクトル$\mathbf{n}$なしで、リーマン計量の係数だけで計算できるってことだ。もちろん、次のように外在的な公式^{extrinsic formula}でも表現できる。$\kappa \mathbf{N} = \mathbf{T}^{\prime} = \alpha^{\prime \prime} = \kappa_{n}\mathbf{n}+ \kappa_{g}\mathbf{S}$だから、

$$ \begin{align*} \kappa_{g} =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{S} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \left[ \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \left[ \mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{T}^{\prime} \right] \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{T}^{\prime} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \kappa \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{B} \right\rangle \\ =&\ \kappa \cos \theta \end{align*} $$

ここで、$\left[ \cdot, \cdot, \cdot \right]$はスカラー三重積を意味する。$\mathbf{B}$はバイノーマルだ。$\theta$は$\mathbf{n}$と$\mathbf{B}$の間の角度だ。

証明

• $g_{ij}$ : リーマン計量の係数
• $L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle$ : 第二基本形式の係数
• $\Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk}$ : クリストッフェル記号

---

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$を座標系チャートマッピング、$U$の座標を$(u_{1}, u_{2})$としよう。それ上の曲線$\alpha (s) = \mathbf{x}\left( u_{1}(s), u_{2}(s) \right)$が与えられたとする。すると、$\alpha^{\prime \prime}$は次のように表される。

$$ \alpha^{\prime \prime}(s) = \kappa_{n}(s)\mathbf{n}(s) + \kappa_{g}(s)\mathbf{S}(s) $$

$\mathbf{n}$は単位法線ベクトル、$\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}$だ。また、$\mathbf{x}_{i}$、$\mathbf{x}_{ij}$はそれぞれ$\mathbf{x}$の1次、2次の偏導関数である。

$$ \mathbf{x}_{i} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{i}} \quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{ij} := \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}} $$

• パート1.

  まず、単位法線と接平面の基底のスカラー三重積を次のように示そう。

  $$ \epsilon _{ij} = \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{i} \times \mathbf{x}_{j} \rangle = \left[ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right] $$

  すると、$\mathbf{x}_{i} \times \mathbf{x}_{i} = \mathbf{0}$なので、各値は次のようになる。

  $$ \epsilon_{11} = \epsilon_{22} = 0 $$

  $\mathbf{n}$は定義により$\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}$に対して垂直なので、

  $$ \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \rangle = \left| \mathbf{n} \right| \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| $$

  ここで、$\mathbf{n}$は単位ベクトルであり、$g = \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2}$なので

  $$ \epsilon_{12} = \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \rangle = -\langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{2} \times \mathbf{x}_{1} \rangle = -\epsilon_{21} = \sqrt{g} $$

• パート2.

  $\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}$であり、$\mathbf{S}$が単位ベクトルであるので

  $$ \kappa _{g} = \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{S} \right\rangle = \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle = \left[ \kappa_{g}\mathbf{S}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] $$

  公式

  $$ \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum \limits_{i=1}^{2} \left[ u_{k}^{\prime \prime} + \sum \limits_{i,j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k}u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime} \right] \mathbf {x}_{k} $$

  接線ベクトルは$\mathbf{T} = \mathbf{x}_{l}u_{l}^{\prime}$で、上の公式により$\kappa_{g}$は次のように計算される。

  $$ \begin{align*} \kappa_{g} =&\ \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle = \left[ \kappa_{g}\mathbf{S}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \left\langle \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right)\mathbf{x}_{k} , \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left\langle \mathbf{x}_{k} , \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{x}_{k}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{n}, \mathbf{x}_{l}u_{l}^{\prime}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) u_{l}^{\prime} \left[\mathbf{n}, \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) u_{l}^{\prime} \epsilon_{lk} \end{align*} $$

  ここで、$\Gamma_{ij}^{k}$は内在的であり、パート1.により$\epsilon_{lk}$も内在的なので、$\kappa_{g}$は内在的である。