球の立体角
📂幾何学球の立体角
定義
半径がr、表面積がAの3次元セクターの立体角Ωを以下のように定義する。
Ω:=r2A

単位はステラジアンと言い、srと表記される。
説明
円の中のラジアン角度が半径に対する弧の比率で定義されることを考えると、自然な定義である。
θ:=rs

しかし、分母にrの代わりにr2が入る理由は、弧は半径に比例するが、表面積は半径の二乗に比例するためである。球の表面積が4πr2であるため、立体角は4πである。
Ω=r24πr2=4π
これは球面座標系の体積積分で半径を除いてすべての角度に対して積分したものと同じであるため、立体角がうまく定義されていることがわかる。
∫θ=0π∫ϕ=02πsinθdθdϕ=4π
以下の画像のように、半径がr=1の単位球を考えてみよう。ここで、特定の方向はz軸を指す。

すると、角度がθの3次元セクターの立体角は以下のようになる。
Ω(θ)=r2A=A=∫θ′=0θ∫ϕ=02πsinθdθdϕ=2π(1−cosθ)
したがって、次が成り立つ。
dθdΩ=2πsinθ⟹dΩ=2πsinθdθ
だから、球面座標系での積分が多い物理学では、以下のような表記をよく使う。
∫0π2πsinθdθ=∫04πdΩ=4π