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球の立体角 📂幾何学

球の立体角

定義1

半径がrr、表面積がAAの3次元セクターの立体角Ω\Omegaを以下のように定義する。

Ω:=Ar2 \Omega := \dfrac{A}{r^{2}}

1.jpg

単位はステラジアンと言い、sr\mathrm{sr}と表記される。

説明

円の中のラジアン角度が半径に対する弧の比率で定義されることを考えると、自然な定義である。

θ:=sr \theta := \dfrac{s}{r}

2.jpg

しかし、分母にrrの代わりにr2r^{2}が入る理由は、弧は半径に比例するが、表面積は半径の二乗に比例するためである。球の表面積が4πr24\pi r^{2}であるため、立体角は4π4\piである。

Ω=4πr2r2=4π \Omega = \dfrac{4 \pi r^{2}}{r^{2}} = 4\pi

これは球面座標系の体積積分で半径を除いてすべての角度に対して積分したものと同じであるため、立体角がうまく定義されていることがわかる。

θ=0πϕ=02πsinθdθdϕ=4π \begin{align*} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2\pi}\sin\theta d\theta d\phi = 4\pi \end{align*}

以下の画像のように、半径がr=1r=1の単位球を考えてみよう。ここで、特定の方向はzz軸を指す。

3.jpg

すると、角度がθ\thetaの3次元セクターの立体角は以下のようになる。

Ω(θ)=Ar2=A=θ=0θϕ=02πsinθdθdϕ=2π(1cosθ) \Omega (\theta) = \dfrac{A}{r^{2}} = A = \int_{\theta ^{\prime} = 0}^{\theta}\int_{\phi=0}^{2\pi} \sin \theta d\theta d\phi = 2\pi (1-\cos\theta)

したがって、次が成り立つ。

dΩdθ=2πsinθ    dΩ=2πsinθdθ \dfrac{d\Omega}{d\theta} = 2\pi \sin \theta \implies d\Omega = 2\pi \sin\theta d\theta

だから、球面座標系での積分が多い物理学では、以下のような表記をよく使う。

0π2πsinθdθ=04πdΩ=4π \int_{0}^{\pi} 2\pi \sin\theta d\theta = \int_{0}^{4\pi} d\Omega = 4\pi


  1. Stephen J. Blundell and Katherine M. Blundell, 熱物理学の概念(Concepts in Thermal Physics、イ・ジェウ訳)(第2版、2014年)、p72-73 ↩︎