線形関数
定義
関数 $f : X \to Y$が以下の二つの条件を満たす場合、線形linearという。$x,x_{1},x_{2}\in X$、$a \in \mathbb{R}$に対して、
- $f(ax) = af(x)$
- $f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) + f(x_{2})$
説明
線形でない場合、非線形nonlinearという。二つの条件をまとめて次のように表すこともある
$$ f(ax_{1} + x_{2}) = af(x_{1}) + f(x_{2}) $$
2.で等式ではなく、以下である$\le$が成り立つ場合、準線形という。
双線形
二変数関数$f = f(x,y)$が各変数に対して線形である場合、双線形bilinearという。
多重線形
多変数関数$f= f(x_{1}, \dots, x_{n})$が各変数に対して線形である場合、多重線形multilinearという。